Courbes elliptiques, représentations galoisiennes et l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}

par Steve Thiboutot Novembre 1996 Département de Mathématiques et Statistiques Université McGill, Montréal Canada

Mémoire présenté à la Faculté des Études Supérieures de l’Université McGill pour

l’obtention du grade de maître ès sciences (M.Sc.) \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}Steve Thiboutot, 1996

Remerciements

Ce mémoire n’aurait jamais vu le jour sans les idées de mon directeur de recherche, M. Henri Darmon. Ses nombreux conseils et explications, ainsi que son support m’ont été indispensables et j’aimerais le remercier sincèrement. Les travaux antérieurs de M. Frits Beukers ont été essentiels et je le remecie grandement pour m’avoir calculé les polynômes qu’on retrouve dans l’appendice A. Je tiens aussi à exprimer ma reconnaissance envers M. Karl Rubin pour m’avoir donné une copie du fichier contenant les polynômes de l’appendice B. Le support financier du Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada m’a permis de me concentrer sur mon projet et je les remercie grandement.

Merci enfin à ma conjointe, Julie, pour qui j’exprime toute ma gratitude et, de façon générale, à tous mes parents et amis, dont le support m’a été essentiel au cours de l’élaboration de ce travail.

Résumé

L’équation diophantienne

x^{2} + y^{3} = z^{5} (1)

admet un nombre infini de solutions entières avec pgcd(x, y, z) = 1. Appelons (F, G, H) une famille paramétrée de solutions de (1) si F, G et H sont des polynômes homogènes non nuls appartenant à Q[s, t] satisfaisant pgcd(F, G, H) = 1 et F (s, t)^{2} + G(s, t)^{3} = H(s, t)^{5} pour tout s, t appartenant à Z. Les solutions entières de (1) s’écrivent comme une union disjointe de familles paramétrées de solutions. Un théorème de Beukers nous dit que ce nombre N de familles paramétrées de solutions est fini. Cependant, seul quelques familles paramétrées de solutions de (1) sont connues. En établissant un lien entre les représentations galoisiennes mod 5 provenant de certaines courbes elliptiques et les familles paramétrées de solutions de (1), on construit de nouvelles familles paramétrées de solutions et on indique une méthode pour établir une borne supérieure pour N.

Abstract

The diophantine equation

x^{2} + y^{3} = z^{5} (1)

has an infinite number of integer solutions with gcd(x, y, z) = 1. Call (F, G, H) a parametrised solutions of (1) if F, G, and H are non-trivial homogeneous polynomials in Q[s, t] with gcd(F, G, H) = 1 and F (s, t)^{2} + G(s, t)^{3} = H(s, t)^{5} for all s, t ∈ Z. The integer solutions of (1) may be written as a disjoint union of parametrised solutions. A theorem of Beukers states that the number N of such parametrised solutions is finite. However, only few parametrised solutions of (1) are known. Establishing a link between the mod 5 Galois representations coming from some elliptic curves and the parametrised solutions of (1), we find new parametrised solutions and indicate a way to find a bound for N.

Tables des matières

Remerciements ii

Résumé iii

Abstract iv

1 Introduction 2

2 Préliminaires 4 2.1 Courbes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 La Conjecture de Shimura-Taniyama . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Représentations galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Théorème de Ribet et Dernier Théorème de Fermat . . . . . . . . . 30

3 L’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} 33 3.1 Les travaux de Beukers sur l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} . . . . . . . . . 33 3.2 Lien entre familles paramétrées de solutions de x^{2} + y^{3} = z^{5} et

représentations galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Construction de familles paramétrées de solutions . . . . . . . . . . 41 3.4 Liste des familles paramétrées de solutions . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5 Borne supérieure pour le nombre de familles paramétrées de solutions 51

Appendice A 60 Appendice B 62 Bibliographie 66 1

Chapitre 1

Introduction

Soient p, q, r ∈ Z_{≥2} et A, B, C ∈ Z, ABC ≠ 0. Considérons l’équation diophantienne

Ax^{p} + By^{q} + Cz^{r} = 0,  (1.1)

où x, y, z ∈ Z sont des inconnus satisfaisant pgcd(x, y, z) = 1 et xyz ≠ 0. Un tel triplet d’entiers (x, y, z) sera appelé une solution primitive de l’équation (1.1).

On distingue trois cas pour l’équation (1.1): le cas hyperbolique, le cas euclidien et le cas sphérique.

Le cas hyperbolique survient lorsque 1/p+1/q+1/r < 1. Dans ce cas, en utilisant le théorème de Faltings, Darmon et Granville [DG] ont montré que l’équation (1.1) admet un nombre fini de solutions primitives.

Lorsque 1/p + 1/q + 1/r = 1, le cas euclidien, on peut énumérer les triplets {p, q, r} possibles: {3, 3, 3}, {2, 4, 4} et {2, 3, 6}. Dans ce cas, les solutions primitives de l’équation (1.1) correspondent aux points rationnels de certaines courbes elliptiques.

Quant au cas sphérique, 1/p + 1/q + 1/r > 1, les triplets {p, q, r} sont {2, 2, k} avec k ≥ 2, {2, 3, 3}, {2, 3, 4} et {2, 3, 5}. Dans ce cas, un nouveau phénomène se produit dans l’étude des solutions primitives de l’équation (1.1): celui des familles paramétrées de solutions. On appelle famille paramétrée la donnée d’un triplet (F, G, H), où F, G, H ∈ Q[X, Y] sont trois polynômes homogènes non nuls avec pgcd(F, G, H) = 1 tels que AF (s, t)^{p} + BG(s, t)^{q} + CH(s, t)^{r} = 0 pour tout (s, t) ∈ Z^{2}.

Beukers [Be] démontre le théorème suivant: Théorème 1 Considérons l’équation (1.1) dans le cas sphérique.

a) Si l’équation (1.1) admet une solution, alors elle en admet une infinité.

b) Il existe un nombre fini de familles paramétrées de solutions tel que chaque solution de l’équation (1.1) peut être obtenue à partir de l’une d’elles par spécialisation en des valeurs entières.

Dans ce présent travail, on traite un cas particulier du cas sphérique. Fixons p = 2, q = 3, r = 5, A = B = 1 et C = −1. On a alors 1/p+1/q +1/r = 31/30 > 1. Puisque l’équation

x^{2} + y^{3} = z^{5}

admet au moins une solution (on peut prendre (x, y, z) = (3, −2, 1)), par le théorème 1, elle en admet une infinité. De plus, ses solutions primitives sont engendrées par un nombre fini de familles paramétrées de solutions. Par contre, la démonstration de Beukers n’indique pas de méthode pour compter de telles familles paramétrées de solutions. Une question naturelle qu’on peut se poser est de savoir combien de familles paramétrées de solutions, à une certaine équivalence près, possède l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}. En établissant un lien entre les familles paramétrées de solutions de cette équation et les représentations du groupe de Galois Gal(\overline{Q}/Q) dans GL_{2}(F_{5}), on construit de nouvelles familles paramétrées de solutions pour l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}, non parues dans l’article de Beukers [Be], et on indique une méthode pour trouver une borne supérieure pour ce nombre de familles.

Préliminaires

2.1 Courbes elliptiques

Une courbe elliptique E (définie sur un corps k), notée E/k, est une courbe projective non singulière de genre 1 qui possède un point k-rationnel O. On montre, plus concrètement, que toute courbe elliptique E/k est donnée par une équation

Y^{2}Z + a_{1}XY Z + a_{3}Y Z^{2} = X^{3} + a_{2}X^{2}Z + a_{4}XZ^{2} + a_{6}Z^{3} ,

où (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{6}) appartient à k^{5} (cf. [Si1], Chap. III, prop. 3.1). Il est bon de remarquer que les coefficients a_{i} ne sont pas uniques et il existe une infinité de quintuplets (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{6}) dans k^{5} définissant une même courbe E/k. La courbe donnée par l’équation ci-haut intersecte toujours la droite à l’infini en un point unique qu’on prend pour définir notre point rationnel (O = [0, 1, 0]). Cette équation est le modèle (ou équation) de Weierstrass associé à E. Pour faciliter la notation, on utilise les coordonnées non homogènes, x = X/Z et y = Y/Z. Avec ces nouvelles coordonnées, la courbe E s’écrit

y^{2} + a_{1}xy + a_{3}y = x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{4}x + a_{6}

tout en n’oubliant pas le point supplémentaire “à l’infini” O = [0, 1, 0].

L’intérêt des courbes elliptiques vient du fait qu’elles sont munies d’une structure de groupe commutatif, où O joue le rôle de l’élément neutre pour l’addition. En d’autres mots, on dit que les courbes elliptiques sont des variétés abéliennes de dimension un. Pour chaque corps K, on définit E(K), l’ensemble des points de E définis sur K. Ainsi, pour une même courbe elliptique E, on obtient généralement différents groupes E(K) pour différentes extensions K de k.

L’opération qui définit la structure de groupe sur E(k) est communément appelée “chord and tangent operation”. Lorsque E/k est donnée par un modèle de Weierstrass, un point P de E(k) est donné par un couple (x, y) défini sur k qui satisfait l’équation. Trois points distincts de E(k) s’additionnent pour donner O si et seulement s’ils sont colinéaires. L’addition entre deux points de E(k) peut être décrite par deux quotients de polynômes à coefficients dans k donnant les coefficients x et y du point résultant. Exemple 2 Soit E : y^{2} = x^{3} − 4x^{2} + 16. On peut montrer que E(Q) possède seulement 5 points \{O, (0, ±4), (4, ±4)\}. Cependant, sur l’extension Q(\sqrt{−2}) de Q, E(Q(\sqrt{−2})) contient aussi le point P = (8 + 4\sqrt{−2}, 12 + 16\sqrt{−2}). On démontre que P est un point d’ordre infini et donc E(Q(\sqrt{−2})) contient un nombre infini de points. Remarquez comment le corps K peut modifier la structure de groupe de E(K).

Dans le reste de cette section, on explique brièvement quelques concepts reliés aux courbes elliptiques. À partir de maintenant, on suppose que nos courbes elliptiques sont définies sur Q bien que la majorité des concepts restent valides sur des corps plus généraux.

Morphismes: Il existe différents types de morphismes entre courbes elliptiques. Étant donné qu’une telle courbe est toujours munie d’un point rationnel particulier, il est naturel de regarder d’abord les morphismes respectant cette propriété. Définition 3 Soient E et E′ des courbes elliptiques. Une isogénie entre E et E′ est un morphisme non nul

ϕ : E ⟶ E′

satisfaisant ϕ(O) = O′. Les courbes E et E′ sont dites isogènes, s’il existe une isogénie entre elles.

Exemple 4 Soit E une courbe elliptique. Pour chaque m ∈ Z \ {0}, l’application multiplication par m

[m] : E ⟶ E

est une isogénie. Si m > 0, alors

[m](P) = \underbrace{P + P ⋯ + P}_{m fois} ;

si m < 0, alors [m](P) = [−m](−P).

Remarque 5 L’application multiplication par m est aussi un homomorphisme de groupes. Ceci est une propriété générale des isogénies: toute isogénie est un homomorphisme de groupe (cf. [Si1], Chap. III, thm. 4.8).

Puisque les courbes elliptiques ont une structure de groupe, on peut définir l’endomorphisme de E donné par la translation par un point donné.

Définition 6 Soit E/Q une courbe elliptique et Q ∈ E(Q). L’application translation par Q se définit par

\begin{aligned}τ_{Q} : & E & ⟶ & E \\ & P & ⟼ & P + Q. \end{aligned}

L’application τ_{Q} est clairement un automorphisme de E car τ_{−Q} constitue son inverse mais elle n’est pas une isogénie sauf pour Q = O.

Soit maintenant

φ : E ⟶ E′

un morphisme quelconque entre les courbes elliptiques E et E′. Alors, l’application

ϕ = τ_{−φ(O)} ∘ φ

est une isogénie entre E et E′ car ϕ(O) = O′. Le morphisme φ peut donc s’écrire

φ = τ_{φ(O)} ∘ ϕ

et donc tout morphisme non-nul entre courbes elliptiques est une composition d’une isogénie et d’une translation.

Discriminant et j-invariant: On attache quelques quantités à une courbe elliptique E. La non singularité d’une courbe elliptique E est détectée par la valeur non nulle du discriminant Δ de E. Si la courbe E est donnée par une équation de Weierstrass, le discriminant de ce modèle est donné par un polynôme en a_{i}, qu’on peut retrouver par exemple dans [Si1] (cf. Chap. III, §1).

Si la courbe E est donnée sous la forme y^{2} = f(x), où

f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c,

alors le discriminant de ce modèle est précisement Δ = 16 · Disc(f), où Disc(f) est le discriminant de f. On rappelle que le discriminant de

f(x) = x^{n} + a_{1}x^{n−1} + … + a_{n−1}x + a_{n} = (x − α_{1}) ⋯ (x − α_{n})

est défini par

Disc(f) = ∏_{1≤j<i≤n}(α_{i} − α_{j})^{2}.

On remarque que l’équation y^{2} = f(x) est non-singulière (et donc définit une courbe elliptique) si et seulement si f(x) n’admet pas de zéro multiple.

On note que le discriminant d’une courbe elliptique E dépend de son modèle. Parmis toutes les équations de E/Q ayant des coefficients entiers, il en existe une qu’on appelle équation minimale; cette équation donne lieu au plus petit discriminant entier possible. Ce discriminant est appelé discriminant minimal de E et noté Δ_{min}.

Exemple 7 Soient A, B, C trois entiers non nuls, premiers entre eux deux à deux, et tels que

A + B + C = 0.

Considérons la courbe de Frey E_{A,B} d’équation

y^{2} = x(x − A)(x + B).

Le discriminant de x(x − A)(x + B) est (AB(A + B))^{2} = (ABC)^{2} et le discriminant de la courbe E_{A,B} est donc Δ = 2^{4} · (ABC)^{2}. Si de plus, A ≡ −1 (mod 4) et B ≡ 0 (mod 32), on montre que

y^{2} + xy = x^{3} + \frac{B − A − 1}{4}x^{2} − \frac{AB}{16} x

est une équation minimale de la courbe E_{A,B} et son discriminant (minimal) correspondant est

Δ_{min} = \frac{(ABC)^{2}}{2^{8}}

(cf. [Se4], section 4.2).

Exemple 8 Soit (a, b, c) une solution primitive de x^{2} + y^{3} = z^{5} et considérons la courbe elliptique

E : y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a.

On a Disc(f) = −2^{2}3^{9}(a^{2} + b^{3}), où f(x) = x^{3} + 27bx − 54a. Le discriminant de l’équation ci-dessus est donc Δ = −2^{6}3^{9}c^{5}.

Remarque 9 Soient E/Q une courbe elliptique donnée par une équation de Weierstrass, Δ son discriminant et ord_{p}(Δ) l’exposant de p qui apparaît dans la décomposition de Δ en produit de facteurs premiers. On dit que le modèle de la courbe elliptique E est minimal en un premier p, si ord_{p}(Δ) est minimal sous la condition que les a_{i} (i = 1, …, 4, 6) sont dans Z. Étant donné que pgcd(A, B, C) = 1, on peut montrer que la courbe E de l’exemple précédent est minimale en p, pour tout p > 3. Ainsi, le discriminant minimal de la courbe E de l’exemple 8 est toujours de la forme Δ_{min} = ±2^{s}3^{t}p_{1}^{5} ⋯ p_{k}^{5}, où {p_{1}, …, p_{k}} sont les diviseurs premiers de c différents de 2 et 3.

Si E/Q est une courbe elliptique donnée par une équation de Weierstrass, le j-invariant de la courbe E, noté j(E) ou simplement j, est défini par un quotient de polynômes en a_{i}, qu’on peut trouver par exemple dans [Si1], Chap. III, §1. Le j-invariant d’une courbe elliptique E ne dépend pas du choix du quintuplet (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{6}) pour définir la courbe E. Ainsi, deux courbes elliptiques définies sur Q isomorphes sur \overline{Q} ont le même j-invariant. Réciproquement, deux courbes elliptiques sur Q ayant le même j-invariant sont isomorphes sur \overline{Q} (cf. [Si1], Chap. III, prop. 1.4).

Exemple 10 Lorsque la courbe E est donnée par

y^{2} = x^{3} + ax + b,

le j-invariant de la courbe E est donné par

j = \frac{4 · (12a)^{3}}{(4a^{3} + 27b^{2})_{.}}

Ainsi, si A^{2} + B^{3} = C^{5}, la courbe E de l’exemple 8 a pour j-invariant

j = \frac{1728B^{3}}{C^{5}} .

Réduction modulo p: Étant donné une courbe elliptique E/Q, donnée par une équation minimale, et un nombre premier p, il est possible de réduire cette équation modulo p et d’obtenir une équation définie sur le corps fini F_{p}. Si cette équation définit une courbe elliptique Ẽ_{p} sur F_{p}, alors on dit que p est un nombre premier de bonne réduction, contrairement aux autres nombres premiers qu’on appelle ceux de mauvaise réduction. Les nombres premiers de mauvaise réduction d’une courbe elliptique E/Q sont précisement ceux qui divisent le discriminant minimal Δ_{min} de E; pour un tel p, la courbe Ẽ_{p} a un point singulier.

On répartit les nombres premiers de mauvaise réduction en deux catégories: ceux ayant réduction multiplicative et les autres ayant réduction additive. On dit qu’une courbe elliptique E/Q a réduction multiplicative (resp. additive) en p si le point singulier de la courbe Ẽ_{p} est un noeud (resp. une pointe). En d’autres mots, la courbe E a réduction multiplicative (resp. additive) en p si la courbe Ẽ_{p} admet deux tangentes distinctes (resp. confondues) au point singulier.

Par exemple, soient E/Q une courbe, donnée par une équation de la forme y^{2} = f(x), et un nombre premier p ≥ 5. Alors, la courbe a bonne réduction en p si et seulement si f n’admet pas de zéro multiple modulo p. Les nombres premiers de réduction multiplicative correspondent aux p tels que f a un zéro double modulo p.

Soit maintenant p un nombre premier de bonne réduction. Le groupe Ẽ_{p}(F_{p}) est l’ensemble des points sur Ẽ_{p} à coefficients dans F_{p}; il s’agit donc d’un groupe abélien fini. On rappelle que le nombre de points sur la droite projective P_{1} sur F_{p} est p + 1. Un argument heuristique laisse croire que #(Ẽ_{p}(F_{p})) est assez proche de p + 1. Il est donc naturel de définir l’entier a_{p}(E) = a_{p}

a_{p} := p + 1 − #(Ẽ_{p}(F_{p})).

Le prochain théorème a d’abord été conjecturé par E. Artin dans sa thèse et démontré par Hasse dans les années 30.

Théorème 11 Soit E une courbe elliptique définie sur le corps fini F_{p}. Alors,

| p + 1 − #(E(F_{p})) |≤ 2\sqrt{p}.

Preuve: voir [Si1], Chap. V, §1.

En anticipant quelque peu la conjecture de Shimura-Taniyama, ces entiers a_{p} auront un lien direct avec les formes modulaires.

Il existe des propriétés arithmétiques des courbes elliptiques qui sont conservées par une isogénie définie sur Q.

Théorème 12 Soient E/Q et E′/Q deux courbes elliptiques isogènes sur Q.

a) Les courbes E et E′ ont le même ensemble de nombres premiers de mauvaise réduction.

b) Si p est un nombre premier de bonne réduction, alors

#(Ẽ_{p}(F_{p})) = #(Ẽ_{p}′(F_{p})).

La démonstration de a) est une conséquence directe du critère de Néron-Ogg-Shafarevich (cf. [Si1], Chap. VII, §7) et pour b) voir l’exercice 5.4 dans [Si1].

Le conducteur: Le conducteur d’une courbe elliptique E/Q est un entier positif N divisible précisement par les nombres premiers p de mauvaise réduction. Il est défini comme suit:

N = ∏_{p} p^{f_{p}} , où

f_{p} = \{ \begin{matrix}0 & si E a bonne réduction en p \\ 1 & si E a réduction multiplicative en p \\ 2 + δ_{p} & si E a réduction additive en p \end{matrix}

et δ_{p} est un entier non négatif (δ_{p} = 0 si p ≥ 5 et δ_{p} est borné par 3 et 6 pour p = 2 et 3 respectivement (cf. [Si2], Chap. IV, thm. 10.4)).

La courbe E/Q est dite semi-stable en p si p^{2} ne divise pas son conducteur N. Cela signifie que la courbe E/Q a, soit bonne réduction en p, dans le cas où p ne divise pas N, soit mauvaise réduction en p de type multiplicatif lorsque p divise exactement N. Si la courbe elliptique E/Q est semi-stable en tout nombre premier p, c’est-à-dire que N est sans facteur carré, alors la courbe E/Q est dite semi-stable.

Il existe un algorithme, dû à Tate, permettant de calculer le conducteur d’une courbe elliptique E/Q (cf. [Si2]). Toute la difficulté réside dans le calcul des exposants de 2 et 3. Pour les autres nombres premiers, le calcul se fait sans difficulté. Par exemple, si E/Q est donnée par une équation de la forme y^{2} = f(x), où f ∈ Z[x], alors les entiers f_{p} (p ≠ 2, 3) sont déterminés en considérant le polynôme f(x) sur le corps F_{p}.

1. Si f(x) a trois zéros distincts modulo p, alors E a bonne réduction et f_{p} = 0.

2. Si f(x) a un zéro double modulo p, alors E a réduction multiplicative en p et f_{p} = 1.

3. Si f(x) a un zéro triple modulo p, alors il faut être plus attentif. Il se pourrait que le modèle ne soit pas minimal et que la courbe soit en fait semi-stable en p. Si ce n’est pas le cas, alors E a réduction additive et f_{p} = 2.

Exemple 13 Soient A, B et C trois entiers non nuls, premiers entre eux deux à deux, tels que

A + B + C = 0

et soit E_{A,B} la courbe de Frey d’équation

y^{2} = x(x − A)(x + B).

Puisque A et B sont copremiers entre eux, la fonction f(x) = x(x − A)(x + B) n’admet pas de zéro triple modulo p.

Considérons d’abord un nombre premier p ≠ 2, 3. La courbe E_{A,B} a mauvaise réduction en p si et seulement si p divise ABC, et cette mauvaise réduction est de type multiplicatif.

Si de plus A ≡ −1 (mod 4) et B ≡ 0 (mod 32), l’équation

y^{2} + xy = x^{3} + \frac{B − A − 1}{4}x^{2} − \frac{AB}{16} x

fournit un modèle minimal pour la courbe E_{A,B}. En considérant cette équation sur F_{2} et F_{3}, si 3 divise ABC, on vérifie qu’on obtient une cubique ayant un point double en (0, 0) à tangentes distinctes. Lorsque A et B satisfont les congruences ci-haut, la courbe E_{A,B} est donc semi-stable et son conducteur est donné par

N = ∏_{p|ABC} p.

Exemple 14 Soit (a, b, c) une solution primitive de x^{2} + y^{3} = z^{5}. On considère

E : y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a

et on sait que le discriminant de E est Δ = −2^{6}3^{9}c^{5}. On montre que le conducteur N de E est de la forme 2^{s}3^{t}p_{1} ⋯ p_{k}, où {p_{1}, … p_{k}} sont les diviseurs premiers ≠ 2, 3 de c. Soit p un diviseur premier de c (p > 3) et supposons que

f(x) = x^{3} + 27bx − 54a

a un zéro triple modulo p. Alors,

f(x) = (x − α)^{3} (mod p)

et en comparant les coefficients de x^{2} et x, on déduit que

a ≡ b ≡ 0 (mod p).

Ceci contredit l’hypothèse pgcd(a, b, c) = 1 et puisque p | c, E a mauvaise réduction en p (la courbe E est minimale en p, voir remarque 9). Ainsi,

N = 2^{s}3^{t}p_{1} ⋯ p_{k},

où {p_{1} … p_{k}} sont les diviseurs premiers ≠ 2, 3 de c.

Tordues: Une courbe elliptique E′/Q isomorphe sur \overline{Q} à E/Q mais non necéssairement isomorphe sur Q est appelée une tordue de E. Donc les tordues d’une courbe E sont toutes les courbes elliptiques ayant le même j-invariant que E. On sait caractériser l’ensemble des tordues d’une courbe E.

Théorème 15 Soit E/Q une courbe elliptique de j-invariant j.

a) Si j ≠ 1728 et j ≠ 0, alors les tordues de E sont isomorphes à E sur une extension quadratique de Q.

b) Si j = 0, alors E est donnée par une équation de la forme y^{2} = x^{3} + k avec k ∈ Z et E′ : y^{2} = x^{3} + k′ est isomorphe à E sur Q( ^{6} \sqrt{\frac{k}{k′}}).

c) Si j = 1728, alors E est donnée par une équation de la forme y^{2} = x^{3} + kx avec k ∈ Z et E′ : y^{2} = x^{3} + k′x est isomorphe à E sur Q( ^{4} \sqrt{\frac{k}{k′}}).

Preuve:

a) Soit E′ une tordue de E et ψ : E′ → E un isomorphisme. Soit σ ∈ Gal(\overline{Q}/Q) et considérons ψ^{σ} ∘ ψ^{−1}. L’application ψ^{σ} ∘ ψ^{−1} est un automorphisme de E. Puisque j ≠ 0, 1728, on a Aut(E) = ±1. Par conséquent, ψ^{σ} = ±ψ ∀σ ∈ Gal(\overline{Q}/Q). L’application qui à σ associe ε(σ) ∈ \{1, −1\} tel que ψ^{σ} = ε(σ)ψ est un homomorphisme de Gal(\overline{Q}/Q) dans \{1, −1\}, qui découpe une extension quadratique K de Q. L’isomorphisme ψ est défini sur K.

b) L’isomorphisme entre les courbes E et E′ est donné par

(x, y) ⟼ ( ^{3} \sqrt{\frac{k}{k′}} x, \sqrt{\frac{k}{k′}} y).

c) L’isomorphisme entre les courbes E et E′ est donné par

(x, y) ⟼ (\sqrt{\frac{k}{k′}} x, \sqrt[4]{\frac{k}{k′}}^{3}y).

□

Soit maintenant E/Q une courbe elliptique ayant un j-invariant j ≠ 1728 et j ≠ 0. Si E/Q a un modèle de la forme y^{2} = f(x), alors pour tout d (d ≠ 0, 1) sans facteur carré, il existe une tordue, notée E ∗ d, ayant un modèle de la forme dy^{2} = f(x). L’isomorphisme entre E et E ∗ d, défini sur Q(\sqrt{d}), est obtenu par

(x, y) ⟼ (x, \sqrt{d}y).

Dans bien des cas, on peut déterminer aisément la conducteur de la courbe E ∗d.

Théorème 16 Soient E/Q une courbe elliptique de conducteur N, d (≠ 0, 1) un entier sans facteur carré et D le discriminant de Q(\sqrt{d}). Le conducteur N_{d} de la courbe E ∗d est seulement divisible par les nombres premiers divisant ND. De plus, si D^{2} ne divise pas N, alors N_{d} = ppcm(N, D^{2}); si D^{2} divise N, N_{d} peut être plus petit que N.

Ce résultat est mentionné dans [Cr], p.82. Le théorème suivant donne une méthode pour obtenir les coefficients a_{p} de E ∗ d à partir de ceux de E.

Théorème 17 Soient E/Q une courbe elliptique, d (≠ 0, 1) un entier sans facteur carré et p un nombre premier de bonne réduction non ramifié dans Q(\sqrt{d}). Alors,

a_{p}(E ∗ d) = χ(p)a_{p}(E),

où χ est le caractère quadratique associé à Q(\sqrt{d}).

Preuve: Soit p un nombre premier non ramifié dans Q(\sqrt{d}). Si χ(p) = 1, alors d est un résidu quadratique mod p et les courbes E et E ∗d sont isomorphes sur F_{p}; ainsi, #(E(F_{p})) = #(E ∗ d(F_{p})) et donc a_{p}(E) = a_{p}(E ∗ d). Si χ(p) = −1, alors d et \frac{1}{d} sont non résidus quadratiques mod p. Ainsi, pour x ∈ F_{p}, soit f(x), soit \frac{1}{d}f(x) est résidu quadratique mod p. Donc, si χ(p) = −1, #(E(F_{p}))+#(E ∗d(F_{p})) = 2(p+1) et a_{p}(E) = −a_{p}(E ∗ d). □

Exemple 18 Soit E la courbe elliptique donnée par l’équation

y^{2} = x^{3} + 24x − 16.

Cette courbe a pour conducteur N = 864 et pour j-invariant j = 2^{9}3. Soit maintenant E′, la courbe elliptique donnée par l’équation:

E′ : y^{2} = x^{3} + 6x + 2.

Il est possible de calculer les valeurs des a_{p} en utilisant, par exemple, GP-pari et voici les résultats pour 5 ≤ p ≤ 61:

\begin{matrix}p & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 & 59 & 61 \\ a_{p}(E) & -2 & 1 & -2 & 1 & -6 & -5 & 6 & -8 & 8 & -5 & -8 & -4 & -10 & -4 & 14 & 3 \\ a_{p}(E′) & 2 & -1 & -2 & -1 & -6 & -5 & -6 & 8 & -8 & 5 & -8 & -4 & 10 & 4 & 14 & -3 \end{matrix}

On vérifie que a_{p}(E′) = (\frac{−2}{p}) a_{p}(E), où (\frac{−2}{p}) est le symbole de Legendre. On note que (\frac{−2}{p}) est exactement le caractère quadratique χ(p) associé à Q(\sqrt{−2}). Ainsi, d’après ces données, le théorème 17 laisserait croire que E′ = E ∗ −2 (ou tout au moins que ces deux courbes sont isogènes). La dernière égalité est effectivement vraie et l’isomorphisme, défini sur Q(\sqrt{−2}), entre E et E′ est donné par

(x, y) ⟼ (−2x, −2\sqrt{−2}y).

L’équation y^{2} = x^{3} + 6x + 2 est le modèle minimal de −2y^{2} = x^{3} + 24x − 16. Le discriminant de Q(\sqrt{−2}) étant −8, le conducteur de E′ est 1728, par le théorème 16. Puisque la courbe E′ est isomorphe à E, le j-invariant j′ de E′ est j′ = 2^{9}3.

2.2 Formes modulaires

On rappelle brièvement la définition et quelques concepts reliés aux formes modulaires considérées dans ce papier. Soit N un entier positif; on définit le sous-groupe Γ_{0}(N) de SL_{2}(Z) comme étant

Γ_{0}(N) = \{ ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(Z) : c ≡ 0 (mod N) \} .

On rappelle que tout sous-groupe Γ de SL_{2}(Z) agit sur le demi-plan complexe supérieur H de la façon suivante:

Γ × H ⟶ H : (( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) , τ) ⟼ \frac{aτ + b}{cτ + d}.

Les formes modulaires utilisées dans ce papier sont des formes paraboliques de poids deux sur Γ_{0}(N), où N est dit le niveau de la forme modulaire. Celles-ci sont des fonctions f définies sur H satisfaisant

1. f(τ) = (cτ + d)^{−2}f(γτ) pour tout γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ_{0}(N), τ ∈ H et

2. f est une fonction holomorphe sur H dont la valeur de f tend vers zéro à l’infini de façon exponentielle.

En particulier, pour γ = ( \begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} ), f(τ) = f(τ + k) et donc f peut s’écrire comme une série de Fourier ∑_{n=1}^{∞} c_{n}q^{n}, où q := e^{2πiz} et c_{n} ∈ C.

En prenant le quotient de H par Γ_{0}(N), on obtient H/Γ_{0}(N), une surface de Riemann non compacte, notée habituellement Y_{0}(N). On appelle X_{0}(N) la compactification de Y_{0}(N) (cf. [Sh], Chap. 1).

Théorème 19 La surface de Riemann X_{0}(N) est une courbe algébrique sur C.

Ce théorème est un cas particulier du théorème d’existence de Riemann (cf. [Fo], Chap. 2): toute surface de Riemann est isomorphe à l’ensemble des points (x, y) ∈ C^{2}, où x et y satisfont une équation polynomiale f(x, y) = 0.

L’ensemble des formes paraboliques de poids deux sur Γ_{0}(N) est un espace vectoriel sur C que l’on note S(N). L’espace S(N) peut-être identifié à l’espace des formes différentielles holomorphes sur X_{0}(N). En effet, si f est une forme parabolique de S(N), on vérifie que l’expression f(τ)dτ est invariante sous l’action de Γ_{0}(N) et la condition à l’infini satisfaite par la forme f entraîne l’holomorphicité de f(τ)dτ. Le théorème de Riemann-Roch (cf. [Ki], section 6.3) entraîne alors

Proposition 20 L’espace S(N) est de dimension finie. Sa dimension est égale au genre de X_{0}(N).

Le genre de X_{0}(N) peut se calculer grâce à la formule de Riemann-Hurwitz (cf. [Kn], thm. 9.10).

Théorème 21 La dimension de S(N) est

g = 1 + \frac{μ(N)}{12} − \frac{μ_{2}(N)}{4} − \frac{μ_{3}(N)}{3} − \frac{μ_{∞}(N)}{2},

où

μ(N) = N ∏_{p|N} (1 + \frac{1}{p})

μ_{2}(N) = \{ \begin{matrix}0 & si 4 | N \\ ∏_{p|N} (1 + (\frac{−1}{p})) & autrement \end{matrix}

μ_{3}(N) = \{ \begin{matrix}0 & si 2|N ou 9|N \\ ∏_{p|N} (1 + (\frac{−3}{p})) & autrement \end{matrix}

μ_{∞}(N) = ∑_{d|N} φ(pgcd(d, \frac{N}{d})).

La fonction φ est la fonction d’Euler et (\frac{−1}{p}), (\frac{−3}{p}) sont des symboles de Legendre.

Exemple 22 Pour N = 11, le théorème 21 donne que la dimension de S(11) est un. On montre que

f(q) := q ∏_{n=1}^{∞} (1 − q^{n})^{2} · (1 − q^{11n})^{2}

est une forme parabolique de niveau 11 et donc f est une fonction génératrice de l’espace S(11). On remarque que les coefficients de Fourier de f sont rationnels et même entiers. Ceci n’est pas un accident d’après le théorème suivant.

Théorème 23 L’espace S(N) a une base constituée de formes paraboliques à coefficients de Fourier entiers.

Preuve: voir [DDT], section 1.4.

L’espace S(N) est équipé d’une famille d’endomorphismes appelés opérateurs de Hecke T_{n} (n ≥ 1). Traditionnellement, l’action des opérateurs T_{n} sur f est notée par f |T_{n}. Les T_{n} peuvent s’écrire en fonction des opérateurs T_{p} indexés par les facteurs premiers de n. Si f = ∑ c_{n}q^{n}, alors l’action des opérateurs T_{p} sur f est donnée par

T_{p} : f = ∑ c_{n}q^{n} ⟼ \{ \begin{matrix}∑ c_{pn}q^{n} + p ∑ c_{n}q^{pn} & si (p, N) = 1 \\ ∑ c_{pn}q^{n} & si p | N. \end{matrix}

On appelle f fonction propre de S(N) si f = ∑ c_{n}q^{n} est une forme parabolique non nulle qui est vecteur propre pour tous les T_{n} (n ≥ 1). La fonction f est dite fonction propre normalisée, si de plus elle satisfait c_{1} = 1. Si f est une telle fonction propre, on a que f|T_{n} = c_{n}f, c’est-à-dire que ses coefficients de Fourier et ses valeurs propres coïncident pour tout n ≥ 1. Ainsi, le corps engendré par les coefficients c_{n} est une extension finie de Q, par le théorème 23. De plus, les c_{n} sont toujours des entiers algébriques et il arrive qu’ils soient de simples entiers rationnels.

Bien qu’il soit souvent possible de diagonaliser les opérateurs T_{n} dans S(N), il arrive d’en être incapable. Donc, les fonctions propres normalisées ne forment pas toujours une base de l’espace vectoriel S(N). Le problème apparaît seulement lorsque n et N ne sont pas copremiers entre eux. On introduit le concept de “newforms” pour remédier à ce problème. On remarque d’abord que l’espace S(N) est équipé d’un produit scalaire hermitien que l’on nomme le produit scalaire de Petersson; on retrouve la définition de ce produit scalaire, par exemple, dans [DDT], section 1.1.

Définition 24 Une forme modulaire f de niveau N est appelée une “oldform” de niveau N si elle est une combinaison linéaire de fonctions de la forme g(dτ), où g est une forme modulaire de niveau strictement divisant N. Une “newform” de niveau N est une fonction propre normalisée qui est orthogonale à toutes les “oldforms” de niveau N selon le produit scalaire de Petersson. L’espace des “oldforms” de niveau N est noté S^{old}(N) et celui des “newforms” de niveau N est noté S^{new}(N).

On a

S(N) = S^{old}(N) ⊕ S^{new}(N).

De plus, S^{new}(1) = ∅ et

S^{old}(N) ≃ ⨁_{{d|N \atop d≠N}} (S^{new}(d))^{σ_{0}( \frac{N}{d})},  (2.1)

où σ_{0}(x) dénote le nombre de diviseurs de x. A. Atkin et J. Lehner ont montré que l’espace S(N) a une base constituée de transformations de “newforms” de S(M), où M parcourt les diviseurs de N.

2.3 La Conjecture de Shimura-Taniyama

La conjecture de Shimura-Taniyama est une conjecture célèbre, entre autres par le lien qu’elle a avec la démonstration du dernier théorème de Fermat. Les travaux de Eichler et Shimura ont d’abord mené au théorème suivant:

Théorème 25 (Eichler-Shimura) Soit f = ∑ c_{n}q^{n} une fonction propre normalisée de l’espace S(N) ayant des coefficients de Fourier rationnels. Alors, il existe une courbe elliptique E_{f} définie sur Q associée à f, ayant les propriétés suivantes:

a) Le conducteur de E_{f} est égal à N. En particulier, E_{f} a bonne réduction en p si p ne divise pas N.

b) Si p ne divise pas N, on a #(E_{f}(F_{p})) = p + 1 − c_{p}.

Références: [DDT], section 1.7.

En d’autres mots, le théorème de Eichler-Shimura assure l’existence d’une application f ↦ E_{f}, où f et E_{f} satisfont les propriétés du théorème. Étant donné que des courbes isogènes sur Q ont même conducteur et coefficients a_{p} (voir théorème 12), la courbe E_{f} est définie seulement à isogénie près.

La conjecture de Shimura-Taniyama peut maintenant s’énoncer ainsi:

Conjecture de Shimura-Taniyama. L’application

\{ \begin{matrix}“Newforms” de poids 2 sur Γ_{0}(N) \\ à coefficients de Fourier rationnels \end{matrix} \} ⟶ \{ \begin{matrix}Classes d’isogénie de courbes \\ elliptiques définies sur Q \\ et de conducteur N \end{matrix} \} est une bijection.

Bien qu’à ce jour, la conjecture de Shimura-Taniyama soit presque démontrée, elle demeure encore une conjecture. Cependant, Andrew Wiles a démontré cette conjecture pour les courbes elliptiques semi-stables et ceci était suffisant pour compléter la preuve du dernier théorème de Fermat. Dans ce papier, nous aurons à utiliser cette conjecture dans des conditions particulières où elle n’est pas démontrée. Ainsi, nous n’aurons autre choix que de la supposer vraie. Ceci ne semble pas être une grande restriction étant donné la confiance des mathématiciens à pouvoir démontrer prochainement la conjecture telle qu’énoncée ci-haut.

Définition 26 Une courbe elliptique E/Q est dite modulaire si la courbe E est isogène sur Q à E_{f}, pour une “newform” f ∈ S(N).

On illustre la conjecture de Shimura-Taniyama par un exemple.

Exemple 27 Soit E la courbe elliptique

E : y^{2} + y = x^{3} − x^{2}.

Son conducteur est égal à 11. Pour tout nombre premier p ≠ 11, la courbe E a bonne réduction et il est possible de calculer les coefficients a_{p}(E). Voici quelques valeurs, calculées à l’ordinateur.

\begin{matrix}p & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 \\ a_{p} & -2 & -1 & 1 & -2 & - & 4 & -2 & 0 & -1 & 0 & 7 \end{matrix}

La conjecture de Shimura-Taniyama prédit qu’il existe une “newform” f ∈ S(11) à coefficients de Fourier rationnels, telle que f est appliquée sur E. Or, la dimension de l’espace vectoriel S(11) est un et S(11) est engendré par

q ∏_{n=1}^{∞} (1 − q^{n})^{2} · (1 − q^{11n})^{2} = q−2q^{2} − q^{3} + 2q^{4}+q^{5} + 2q^{6}−2q^{7}

− 2q^{9} − 2q^{10}+q^{11} − 2q^{12}+4q^{13} + 4q^{14}

− q^{15} − 4q^{16}−2q^{17} + 4q^{18} + 2q^{20} + 2q^{21}
− 2q^{22}−q^{23} − 4q^{25} − 8q^{26} + 5q^{27} − 4q^{28}
+ 2q^{30}+7q^{31} + ⋯
= ∑_{n=1}^{∞} c_{n}q^{n}

(voir exemple 22). On remarque que les coefficients a_{p}(E) coïncident avec les coefficients de Fourier c_{p}.

Cet exemple illustre le lien qu’il existe entre les coefficients a_{p}(E) d’une courbe elliptique E/Q et les coefficients de Fourier de la forme modulaire associée. La conjecture de Shimura-Taniyama énonce qu’il existe une telle relation avec toutes les courbes elliptiques définies sur Q, à savoir si E/Q est une courbe elliptique de conducteur N, alors on conjecture qu’il existe une “newform” f = ∑ c_{n}q^{n} dans S(N) telle que c_{p} = a_{p}(E) pour tout p, p ne divisant pas N. On note que les coefficients de Fourier c_{n} de f, pour (n, N) = 1, sont des entiers rationnels.

2.4 Représentations galoisiennes

a) Représentations galoisiennes associées aux courbes elliptiques

Soit E/Q une courbe elliptique, et soit n ≥ 1. On considère E[n], le sous-groupe de E(C) constitué des points de E d’ordre divisant n, où de façon équivalente, le noyau de l’application multiplication par n définie dans l’exemple 4. On rappelle que la loi d’addition de 2 points sur E(C) est donnée par des fonctions rationnelles à coefficients dans Q. De ce fait, on voit que E[n] est un sous-groupe de E(\overline{Q}) et que E[n] est stable sous l’action de Gal(\overline{Q}/Q) sur E(\overline{Q}). Pour la même raison, pour tout σ ∈ Gal(\overline{Q}/Q), l’automorphisme défini par P ↦ P^{σ}, où P ∈ E[n], est en fait un automorphisme de groupe de E[n], c’est-à-dire (P + Q)^{σ} = P^{σ} + Q^{σ}, pour P, Q ∈ E[n]. Ainsi, l’action du groupe de Galois Gal(\overline{Q}/Q) donne lieu à un homomorphisme (continu) ρ_{n}^{E}, défini par

ρ_{n}^{E} : Gal(\overline{Q}/Q) ⟼ Aut(E[n]).

Proposition 28 Soit E une courbe elliptique et n ≥ 1.

E[n] ≃ (Z/nZ)^{2}.

Preuve: Lorsque la courbe E est considérée sur le corps des complexes C, alors E(C) ≃ C/L, où L est un réseau, c’est-à-dire L = Zω_{1} + Zω_{2} = {n_{1}ω_{1} + n_{2}ω_{2} : n_{1}, n_{2} ∈ Z} (cf. [Si1], Chap. VI). L’isomorphisme entre (Z/nZ)^{2} et E[n] est alors donné par

(a_{1}, a_{2}) ⟶ \frac{a_{1}}{n} ω_{1} + \frac{a_{2}}{n} ω_{2}.

□

L’isomorphisme de la proposition 28 n’est pas canonique et dépend du choix des générateurs ω_{1} et ω_{2}, où de façon équivalente d’une base de E[n]. Ainsi, pour chaque choix d’une telle base, on a Aut(E[n]) ≃ GL_{2}(Z/nZ). Ayant fixé une base de E[n], on obtient une représentation de Gal(\overline{Q}/Q) qu’on appelle la représentation de Gal(\overline{Q}/Q) fournie par les points de n-division de la courbe elliptique E. Il est souhaitable de fixer à prime abord une base de E[n] et de voir ρ_{n}^{E} prenant ses valeurs dans GL_{2}(Z/nZ). Du fait de la base de E[n] choisie, on définit, de cette façon, une représentation à conjugaison près, notée encore ρ_{n}^{E}.

Par la théorie de Galois, le noyau de ρ_{n}^{E} correspond à une extension finie K_{n} de Q contenue dans \overline{Q}. Concrètement K_{n} est la plus petite extension de Q contenant toutes les coordonnées des points de E[n]; si E[n] = {(x_{1}, y_{1}), …, (x_{n^{2}}, y_{n^{2}})}, alors K_{n} = Q(x_{1}, …, x_{n^{2}}, y_{1}, …, y_{n^{2}}) et K_{n} est habituellement notée Q(E[n]). Ainsi, en prenant le quotient de Gal(\overline{Q}/Q) par le noyau de ρ_{n}^{E}, on obtient une représentation de Gal(Q(E[n])/Q) qui est injective et en particulier, on peut identifier le groupe Gal(Q(E[n])/Q) à un sous-groupe de GL_{2}(Z/nZ). À l’avenir, on s’intéressera seulement au cas où n est un nombre premier ℓ, auquel cas Z/nZ est le corps fini F_{ℓ}.

Exemple 29 Soit E la courbe elliptique

E : y^{2} = x^{3} − x^{2} + x − 1 = (x^{2} + 1)(x − 1)

et soit

ρ_{2}^{E} : Gal(\overline{Q}/Q) ⟶ GL_{2}(F_{2}),

la représentation associée à ses points d’ordre 2. Les points d’ordre 2 de E correspondent aux points (x, y) de E, où y = 0. Alors,

E[2] = {O, (1, 0), (i, 0), (−i, 0)}

et on a Q(E[2]) = Q(i). Le groupe de Galois Gal(Q(E[2])/Q) contient donc deux éléments {σ_{0}, σ_{1}} correspondant respectivement à l’identité et à la conjugaison complexe. Pour connaître la représentation Gal(Q(E[2])/Q) ⟶ GL_{2}(F_{2}), on choisit une base {P, Q} de E[2] et on regarde l’action de σ_{i} (i = 0, 1) sur P et Q. On rappelle que si P = (x, y), on définit l’action de Galois par

P^{σ} = (x^{σ}, y^{σ}).

On a

\begin{aligned}P^{σ_{1}} & = & (1^{σ_{1}}, 0^{σ_{1}}) & = & (1, 0) & = & P \\ Q^{σ_{1}} & = & (i^{σ_{1}}, 0^{σ_{1}}) & = & (−i, 0) & = & P + Q \end{aligned}

et donc

\begin{matrix}σ_{0} & ↦ & ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) \\ σ_{1} & ↦ & ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )_{.} \end{matrix}

Ainsi, la représentation ρ_{2}^{E} est donnée par

ρ_{2}^{E}(σ) = \{ \begin{matrix}( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) & si i^{σ} = i \\ ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) & si i^{σ} = −i. \end{matrix}

Le caractère cyclotomique χ_{ℓ} d’ordre ℓ est défini en considérant l’action du groupe de Galois Gal(\overline{Q}/Q) sur le groupe μ_{ℓ} des racines ℓ^{ième} de l’unité de \overline{Q}. Cette action de groupe donne lieu a un homomorphisme

Gal(\overline{Q}/Q) ⟶ Aut(μ_{ℓ})

et puisque μ_{ℓ} est un groupe d’ordre ℓ, son groupe d’automorphismes est isomorphe à (Z/ℓZ)^{×} = F_{ℓ}^{×}. Ceci mène au caractère cyclotomique

χ_{ℓ} : Gal(\overline{Q}/Q) ⟶ F_{ℓ}^{×}.

L’introduction du caractère χ_{ℓ} se justifie par la proposition suivante:

Proposition 30 Si E/Q est une courbe elliptique, alors le déterminant de ρ_{ℓ}^{E} est le caractère cyclotomique χ_{ℓ}.

Preuve: Cette proposition est une conséquence directe de l’accouplement e_{ℓ} de Weil et de ses propriétés (cf. [Si1], Chap. III, §8). En effet,

e_{ℓ} : E[ℓ] × E[ℓ] ⟶ μ_{ℓ}

est

a) bilinéaire:

\begin{aligned}e_{ℓ}(P_{1} + P_{2}, Q) & = & e_{ℓ}(P_{1}, Q) · e_{ℓ}(P_{2}, Q) \\ e_{ℓ}(P, Q_{1} + Q_{2}) & = & e_{ℓ}(P, Q_{1}) · e_{ℓ}(P, Q_{2}); \end{aligned}

b) alternée: e_{ℓ}(P, P) = 1, en particulier e_{ℓ}(P, Q) = e_{ℓ}(Q, P)^{−1};

c) Galois invariant: pour tout σ ∈ Gal(\overline{Q}/Q),

e_{ℓ}(P, Q)^{σ} = e_{ℓ}(P^{σ}, Q^{σ})

(cf. [Si1], Chap. III, prop. 8.1). Soient {P, Q} une base de E[ℓ] et ζ = e_{ℓ}(P, Q). Supposons que

\begin{aligned}P^{σ} & = & a(σ)P + c(σ)Q \\ Q^{σ} & = & b(σ)P + d(σ)Q. \end{aligned}

Alors,

ρ_{ℓ}^{E} : σ ⟼ ( \begin{matrix}a(σ) & b(σ) \\ c(σ) & d(σ) \end{matrix} )

et

ζ^{σ} = e_{ℓ}(P, Q)^{σ}
= e_{ℓ}(P^{σ}, Q^{σ})
= e_{ℓ}(a(σ)P + c(σ)Q) · e_{ℓ}(b(σ)P + d(σ)Q)
= e_{ℓ}(P, Q)^{a(σ)d(σ)−b(σ)c(σ)}
= ζ^{det(ρ_{ℓ}^{E}(σ))}
□

Dans l’étude de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}, il faudra distinguer les cas où la représentation ρ_{ℓ}^{E} est irréductible et réductible. On dit que la représentation ρ_{ℓ}^{E} est réductible lorsque la courbe E possède un sous-groupe d’ordre ℓ qui est stable sous l’action de Gal(\overline{Q}/Q). Un exemple typique est lorsque le groupe E[ℓ] contient un point d’ordre ℓ défini sur Q. Soit ρ_{ℓ}^{E} une représentation réducible et soit P le point dans E[ℓ] qui engendre le sous-groupe de E(\overline{Q}) stable par l’action de Galois. Si Q est un point de E[ℓ] à l’extérieur de la droite engendrée par P alors, les points P et Q forment une base de l’espace E[ℓ]. Étant donné que le point P est stable sous l’action de Gal(\overline{Q}/Q), on voit qu’en utilisant la base \{P, Q\}, l’image d’un automorphisme σ ∈ Gal(\overline{Q}/Q) par la représentation ρ_{ℓ}^{E} est de la forme

σ ⟼ ( \begin{matrix}a(σ) & b(σ) \\ 0 & c(σ) \end{matrix} ) ,

c’est-à-dire les matrices de l’image de la représentation ρ_{ℓ}^{E} sont triangulaires. Ceci caractérise les représentations réductibles. Si b(σ) = 0 pour tout σ ∈ Gal(\overline{Q}/Q), on dit que la représentation est totalement réductible.

Voici un théorème profond démontré par Mazur.

Théorème 31 (Mazur) Soit E/Q une courbe elliptique. Si ℓ > 163 est un nombre premier, alors la représentation ρ_{ℓ}^{E} est irréductible. Si la courbe E est semi-stable, alors ρ_{ℓ}^{E} est irréductible pour tout ℓ > 7 et irréductible pour tout ℓ > 3 si de plus tous ses points d’ordre 2 sont définis sur Q.

Preuve: voir [Ma].

On dit que ρ_{ℓ}^{E} est ramifié en un nombre premier p si l’extension K_{p}/Q est ramifiée en p.

Théorème 32 Soient E/Q une courbe elliptique de conducteur N, ℓ un nombre premier et ρ_{ℓ}^{E} la représentation de Gal(\overline{Q}/Q) fournie par les points de ℓ-division de E. Supposons que p est un nombre premier ne divisant pas ℓN. Alors, ρ_{ℓ}^{E} est non ramifiée en p. De plus,

a) Trace(ρ_{ℓ}^{E}(F rob_{p})) ≡ a_{p} (mod ℓ), et

b) Det(ρ_{ℓ}^{E}(F rob_{p})) ≡ p (mod ℓ).

Preuve: voir [Se1], Chap. 4, §1.3.

Ainsi, à partir de la représentation ρ_{ℓ}^{E}, il est possible de récupérer les coefficients a_{p} de E modulo ℓ.

Maintenant, soit Δ = Δ_{min} le discriminant minimal d’une courbe elliptique E/Q. Soit ord_{p}(Δ) la valuation de Δ en p définie comme dans la remarque 9. Voici un résultat permettant de caractériser les nombres premiers (≠ ℓ) ramifiés de ρ_{ℓ}^{E}.

Théorème 33 Soit p ≠ ℓ un nombre premier tel que E soit semi-stable en p. Alors, la représentation ρ_{ℓ}^{E} est non ramifiée en p si et seulement si ord_{p}(Δ) ≡ 0 (mod ℓ).

Preuve: Ce résultat est une application de la théorie de la courbe de Tate (cf. [Si2], Chap. V, §3). La démonstration qui suit est empruntée de [Ri1]. On regarde la ramification de ρ_{ℓ}^{E} en p en considérant la courbe E définie sur l’extension maximale non ramifiée de Q_{p}, notée Q_{p}^{nr}. Par définition, la représentation ρ_{ℓ}^{E} est non ramifiée en p si Q_{p}^{nr}(E[ℓ]) = Q_{p}^{nr}. La théorie de la courbe de Tate fournit un isomorphisme

E(\overline{Q}_{p}) ≃ \overline{Q}_{p}^{×}/q^{Z},

avec |q| < 1, compatible à l’action de Gal(\overline{Q_{p}}/Q_{p}^{nr}). Ainsi, l’extension Q_{p}^{nr}(E[ℓ]) de Q_{p}^{nr} est obtenue en ajoutant à Q_{p}^{nr} les racines ℓ^{ième} de q (les racines ℓ^{ième} de l’unité appartiennent déjà à Q_{p}^{nr}, car ℓ ≠ p). Puisque ℓ ≠ p, on note que q est une puissance ℓ^{ième} dans Q_{p}^{nr} si et seulement si ℓ divise la valuation de q, c’est-à-dire ord_{p}(q) ≡ 0 (mod ℓ). Puisque la valuation de q coïncide avec la valuation du déterminant minimal Δ_{min} de E (Δ_{min} = q ∏_{n≥1} (1 − q^{n})^{24}), on obtient le résultat. □

Exemple 34 Soit (a, b, c) une solution primitive de x^{2} + y^{3} = z^{5} et soit la courbe

E : y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a.

On vérifie que la représentation ρ_{5}^{E} est non ramifiée à l’extérieur de {2, 3, 5}. En effet, soit ℓ = 5. On sait par l’exemple 8 que le discriminant de E est Δ = −2^{6}3^{9}c^{5} et qu’il est minimal pour tout p > 3 (voir remarque 9). De plus, on sait que pour tout p > 3 de mauvaise réduction (c’est-à-dire, p | c), p ∥ N, où N est le conducteur de la courbe E (voir exemple 14). Par le théorème 33, on conclut que ρ_{5}^{E} est non ramifiée à l’extérieur de {2, 3, 5}.

Remarque 35 Le principe de démonstration du théorème 33 se généralise sans dificulté au cas ou on remplace Q_{p} par le corps de fractions d’un anneau de valuation discrète quelconque. Ainsi on a

Théorème 36 Soit R un anneau de valuation discrète de caractéristique 0, m son idéal maximal, k = R/m son corps résiduel et K son corps de fractions. Soit E une courbe elliptique définie sur K, ayant bonne réduction ou réduction multiplicative modulo m. Soit Δ ∈ R le discriminant minimal de E sur R. Notons par ρ_{ℓ}^{E} : Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(Z/ℓZ) la représentation galoisienne sur les points d’ordre ℓ de E, et supposons que ℓ est différent de char(k). Alors ρ_{ℓ}^{E} est non ramifiée en m si et seulement si ℓ divise la valuation de Δ.

Nous aurons à nous servir plus tard de ce résultat dans le cas où la courbe est définie sur le corps de fonction Q(t).

b) Représentations galoisiennes associées aux formes modulaires

Dans cette section, on s’intéresse seulement aux formes modulaires qui sont des fonctions propres normalisées. Si la forme modulaire f ∈ S(N) a des coefficients de Fourier c_{n} rationnels, il est possible de lui associer une courbe elliptique E = E_{f} satisfaisant a_{p}(E) = c_{p}, pour p ne divisant pas N (voir théorème 25) et de considérer la famille de représentations ρ_{ℓ}^{E}, où ℓ parcourt les nombres premiers ℓ. Étant donné que la représentation ρ_{ℓ}^{E} provient initialement de la fonction f, il est tentant de nommer cette application ρ_{ℓ}^{f}. Cependant, un obstacle apparaît avec cette écriture; la courbe elliptique E est seulement définie à isogénie près et la représentation ρ_{ℓ}^{E} dépend du choix de la courbe E. Il faut donc modifier quelque peu la représentation ρ_{ℓ}^{E} de façon qu’elle soit indépendante du choix de la courbe E. Pour bien définir la représentation ρ_{ℓ}^{f}, on introduit la semi-simplification de ρ_{ℓ}^{E}.

On distingue deux cas bien différents: représentations irréductibles et réductibles. Lorsque la représentation ρ_{ℓ}^{E} est irréductible, sa semi-simplification est ρ_{ℓ}^{E} elle-même. Si la représentation ρ_{ℓ}^{E} est réductible (la cas où les matrices sont triangulaires), ρ_{ℓ}^{E} se décompose en deux représentations ρ_{1}, ρ_{2} de dimension un et la semi-simplification de ρ_{ℓ}^{E} est la somme directe de ρ_{1} et ρ_{2}. En définissant

ρ_{ℓ}^{f} := semi-simplification de ρ_{ℓ}^{E},

on démontre que la représentation ρ_{ℓ}^{f} est indépendante du choix de la courbe E choisie. Les propriétés arithmétiques de la forme modulaire f = ∑ c_{n}q^{n} ∈ S(N) sont reflétées dans la représentation ρ_{ℓ}^{f}. Théorème 37 Soit p un nombre premier ne divisant pas ℓN, où N est le niveau de la fonction propre normalisée f = ∑ c_{n}q^{n}. Alors, la représentation ρ_{ℓ}^{f} est non ramifiée en p. De plus,

a) Trace(ρ_{ℓ}^{f}(Frob_{p})) ≡ c_{p} (mod ℓ) et

b) Det(ρ_{ℓ}^{f}(Frob_{p})) ≡ p (mod ℓ).

Preuve: Soit la courbe E_{f} associée à f par le théorème 25 de Eichler-Shimura. La représentation ρ_{ℓ}^{f} est la semi-simplification de ρ_{ℓ}^{E_{f}}. Par sa construction, ρ_{ℓ}^{f} a les même fonctions trace et déterminant que ρ_{ℓ}^{E_{f}}. Le résultat s’obtient en utilisant le théorème 25 de Eichler-Shimura et le théorème 32 appliqué à la courbe E_{f}. □

Il est possible de généraliser ce processus aux fonctions propres normalisées f = ∑ c_{n}q^{n} ∈ S(N) n’ayant pas necéssairement des coefficients de Fourier rationnels. Si K_{f} dénote l’extension de Q engendrée par les coefficients c_{n} de f, alors ces coefficients appartiennent à l’anneau des entiers O_{f} de K_{f} (§2.2). Désormais, les représentations provenant de la forme modulaire f ne seront plus indexées par des nombres premiers, mais par les idéaux premiers de O_{f}. Si λ est un idéal premier de O_{f} au-dessus de ℓ, alors le corps résiduel F_{λ} associé à λ est une extension finie de F_{ℓ}.

En analogie avec le cas où la fonction f possède des coefficients de Fourier rationnels, il est possible de définir une représentation ρ_{λ}^{f} : Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(F_{λ}) (cf. [Sh], Chap. 7). Cette représentation est aussi caractérisée à isomorphisme près par le théorème suivant:

Théorème 38 Soit p un nombre premier ne divisant pas ℓN, où N est le niveau de la forme modulaire f = ∑ c_{n}q^{n}. Alors, la représentation ρ_{λ}^{f} est non ramifiée en p. De plus,

a) Trace(ρ_{λ}^{f}(Frob_{p})) ≡ c_{p} (mod λ) et

b) Det(ρ_{λ}^{f}(Frob_{p})) ≡ p (mod λ).

Preuve: voir [Sh].

Définition 39 On dit qu’une représentation ρ est modulaire (de niveau N), si l’on peut trouver

i) une fonction propre normalisée f(∈ S(N)) et

ii) un idéal premier λ dans l’anneau O_{f} tels que la représentation ρ_{λ}^{f} soit isomorphe à ρ. Dans ce cas, on dit que ρ et f sont associées.

2.5 Théorème de Ribet et Dernier Théorème de

Fermat

Cette section est consacrée à un théorème de Kenneth A. Ribet qui nous sera indispensable dans l’étude de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}. On se contentera d’en énoncer un cas particulier, suffisant pour nos applications. Bien qu’il nous soit impossible d’expliquer la démonstration, nous verrons comment ce théorème implique le fameux dernier théorème de Fermat.

Soit ρ : Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(F_{ℓ}) (ℓ > 2) une représentation et supposons qu’elle provienne d’une courbe elliptique E/Q, c’est-à-dire que ρ = ρ_{ℓ}^{E}. Soient Δ_{min} = Δ le discriminant minimal de la courbe E et N son conducteur. On peut écrire la conducteur N sous la forme

N = N_{1}N_{2}

où N_{1} et N_{2} satisfont les conditions suivantes:

1. pgcd(N_{1}, N_{2}) = 1,

2. ord_{p}(N_{1}) ≥ 1 pour tout p | N_{1} et

3. N_{2} est sans facteur carré.

On définit maintenant N(ρ) = N_{1} ∏_{{p|N_{2} \atop ℓ|/ordp(Δ)}} p.

Théorème 40 (Ribet) Supposons que la représentation ρ provienne d’une courbe elliptique modulaire et que ρ soit irréductible. Alors, il existe une “newform” normalisée de niveau N(ρ) associée à ρ.

Remarques sur le théorème de Ribet

(1) La conclusion du théorème signifie qu’il existe une “newform” normalisée f ∈ S(N(ρ)) et un idéal premier λ de O_{f} tels que ρ soit isomorphe à ρ_{λ}^{f} (voir définition 39).

(2) L’hypothèse que la représentation ρ provienne d’une certaine courbe elliptique, n’intervient pas dans l’énoncé plus général du théorème de Ribet. Cependant, elle sera suffisante pour notre application.

(3) C’est précisément en applicant ce théorème qu’on supposera la conjecture de Shimura-Taniyama; l’hypothèse que la courbe elliptique E soit modulaire est un élément crucial dans cet énoncé du théorème de Ribet.

Voici maintenant une application intéressante de ce théorème qui permet de démontrer le célèbre dernier théorème de Fermat. Il est bon de remarquer qu’on n’a pas besoin de supposer la conjecture de Shimura-Taniyama pour assurer la modularité des courbes elliptiques utilisées dans la démonstration du dernier théorème de Fermat. On utilise seulement des courbes elliptiques semi-stables et sous cette hypothèse, la conjecture de Shimura-Taniyama est complètement démontrée par Wiles!

Exemple (Dernier théorème de Fermat) Voici d’abord l’énoncé du dernier théorème de Fermat. Dernier théorème de Fermat L’équation

a^{n} + b^{n} + c^{n} = 0

n’a aucune solution avec a, b, c ∈ Z, abc ≠ 0 et n ≥ 3.

Puisque le résultat est connu pour n = 3 et 4, on remarque qu’il est suffisant de montrer le théorème lorsque n est un nombre premier ℓ ≥ 5. En effet, si n = ℓq et (a^{q})^{ℓ} + (b^{q})^{ℓ} + (c^{q})^{ℓ} = 0, alors pour A = a^{q}, B = b^{q} et C = c^{q}, A^{ℓ} + B^{ℓ} + C^{ℓ} = 0.

Ainsi, on suppose qu’il existe une solution a^{ℓ} + b^{ℓ} + c^{ℓ} = 0 satisfaisant les conditions du théorème. En divisant l’équation par le plus grand commun diviseur à la puissance ℓ de a, b et c, on peut supposer qu’ils sont sans facteur commun.

De plus, en permutant les lettres, on peut toujours supposer que b ≡ 0 (mod 2) et a ≡ −1 (mod 4).

Empruntant la stratégie de Frey, on considère la courbe de Frey E_{a^{ℓ},b^{ℓ}} donnée par l’équation

y^{2} = x(x − a^{ℓ})(x + b^{ℓ}).

Le discriminant minimal de la courbe E_{a^{ℓ},b^{ℓ}} est

Δ_{min} = Δ = \frac{(abc)^{2ℓ}}{2^{8}}

(voir exemple 7). La courbe E_{a^{ℓ},b^{ℓ}} est semi-stable et son conducteur est donné par

N = ∏_{p|abc} p

(voir exemple 13). Puisque tous les points d’ordre 2 de la courbe E_{a^{ℓ},b^{ℓ}} sont définis sur Q, le théorème 31 de Mazur assure l’irréductibilité de la représentation ρ = ρ_{ℓ}^{E_{a^{ℓ},b^{ℓ}}}. De plus, la courbe E_{a^{ℓ},b^{ℓ}} étant semi-stable, elle est modulaire (par Wiles) et on peut donc utiliser le théorème de Ribet.

Selon les notation utilisées au début de la section, le conducteur de la courbe E_{a^{ℓ},b^{ℓ}} s’écrit N = N_{1}N_{2}, où

N_{1} = 1 et N_{2} = ∏_{p|abc} p.

Pour connaître N(ρ), il suffit de vérifier si ℓ divise ou non ord_{p}(Δ) pour p | abc. Or,

ord_{p}(Δ) = \{ \begin{matrix}2ℓ · ord_{p}(abc) − 8 ≡ −8 (mod ℓ) & si p = 2 \\ 2ℓ · ord_{p}(abc) ≡ 0 (mod ℓ) & si p ≠ 2. \end{matrix}

Puisque ℓ ≥ 5, on a ord_{2}(Δ) ≢ 0 (mod ℓ) et N(ρ) = 2. D’après le théorème de Ribet, la représentation ρ provient d’une fonction propre normalisée de niveau 2. Or, il n’existe pas de forme modulaire de niveau 2, ce qui constitue une contradiction.

L’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}

3.1 Les travaux de Beukers sur l’équation x^{2}+y^{3} =

z^{5}

Pour faire l’étude de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}, on est amené à considérer le groupe icosaédral. Tout ceci vient de la merveilleuse analyse de l’icosaèdre de Klein dans [Kl]. On rappelle que l’icosaèdre est un polygone régulier possédant 20 faces (à 3 côtés), 30 arêtes et 12 sommets. Soit S la sphère qui circonscrit l’icosaèdre. On peut projeter le centre de gravité des arêtes, sommets et faces du polygone sur S et obtenir, ce qu’on appellera arête-points, sommet-points et face-points respectivement. Soit G le groupe des rotations de la sphère S qui envoient l’icosaèdre sur lui-même. L’ordre de ce groupe est 2 fois le nombre d’arêtes, c’est-à-dire 60. On montre que ce groupe est isomorphe au groupe A_{5} des permutations paires de 5 lettres. Si on suppose que le diamètre de S est égal à un, les 12 sommet-points sont envoyés, par la projection stéréographique, sur les 12 points suivants de P^{1}(C):

\frac{u}{v} = 0, ∞, (\frac{−1 ± \sqrt{5}}{2}) ε^{j}

où ε = e^{2πi/5} (j = 1, …, 5). Ceux-ci sont les zéros du polynôme

f(u, v) = uv(u^{10} − 11u^{5}v^{5} − v^{10}).

Les 20 face-points correspondent aux zéros du polynôme de degré 20 déterminé par

g = \frac{−1}{121}det(hessienne(f))

où la matrice hessienne de f se définit par

( \begin{matrix}\frac{∂^{2}f}{∂u^{2}} & \frac{∂^{2}f}{∂u∂v} \\ \frac{∂^{2}f}{∂v∂u} & \frac{∂^{2}f}{∂v^{2}} \end{matrix} )_{.}

Ainsi, g(u, v) = u^{20} + 228u^{15}v^{5} + 494u^{10}v^{10} − 228u^{5}v^{15} + v^{20}. Et finalement, le déterminant de la matrice jacobienne

( \begin{matrix}\frac{∂f}{∂u} & \frac{∂f}{∂v} \\ \frac{∂g}{∂u} & \frac{∂g}{∂v} \end{matrix} )

est de degré 30. Les zéros du polynôme

h(u, v) = \frac{−1}{20}det(jacobienne(f, g)) =
u^{30} − 522u^{25}v^{5} − 10005u^{20}v^{10} − 10005u^{10}v^{20} + 522u^{5}v^{25} + v^{30}

correspondent, quant à eux, aux trente arête-points de l’icosaèdre.

Le groupe G peut être vu comme un sous-groupe fini de GL_{2}(C). On peut alors définir une action naturelle de G sur l’anneau des polynômes C[X_{1}, X_{2}]. Soient g ∈ G et f(X_{1}, X_{2}) ∈ C[X_{1}, X_{2}]; l’action se définit comme suit: g·f(X_{1}, X_{2}) = f((g(X_{1}, X_{2})^{t})^{t}). Un théorème de E. Noether stipule que l’anneau des G-invariants, noté C[X_{1}, X_{2}]^{G}, est une C-algèbre de type fini. Dans notre cas, les polynômes f, g et h décrits ci-haut sont précisement les générateurs des invariants du groupe icosaédral. Ces mêmes polynômes satisfont la célèbre identité de Klein

h^{2} + 1728f^{5} = g^{3}.

Pour étudier l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}, Beukers considère l’application φ : C^{2} ⟶ C^{3} donnée par

(u, v) ⟼ (ih(u, v), g(u, v), (1728)^{\frac{1}{5}} f(u, v))

où i = \sqrt{−1}. Celle-ci est une application quotient pour l’action de G et par l’identité de Klein, on voit que l’image de φ est l’ensemble des (x, y, z) satisfaisant l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}.

Beukers s’intéresse aux matrices m ∈ GL_{2}(\overline{Q}) telles que φ ∘ m est défini sur Q. Une telle matrice est appelée une Q-matrice. On vérifie facilement que φ ∘ m est une famille paramétrée de x^{2} + y^{3} = z^{5}. Inversement, il note que toute famille paramétrée de degré 60 est de la forme φ ∘ m, pour un certain m ∈ GL_{2}(\overline{Q}). On remarque que si m est une Q-matrice, alors pour tout g ∈ G et r ∈ GL_{2}(Q), g ∘ m ∘ r est aussi une Q-matrice. En effet, pour σ ∈ Gal(\overline{Q}/Q), σ(φ ∘ (g ∘ m ∘ r)) = σ(φ ∘ m ∘ r) = σ(φ ∘ m) ∘ r = φ ∘ m ∘ r = φ ∘ (g ∘ m ∘ r). On obtient ainsi une relation d’équivalence entre Q-matrices; m′ est équivalente à m si m′ = g ∘ m ∘ r pour un certain g ∈ G, r ∈ GL_{2}(Q).

On dira que deux familles paramétrées de solutions (F, G, H) et (F′, G′, H′) sont équivalentes s’il existe une matrice γ ∈ GL_{2}(Q) telle que F ∘ γ = F′, G ∘ γ = G′ et H ∘ γ = H′. Par la remarque faite ci-haut, on a

Théorème 41 Deux Q-matrices équivalentes donnent lieu à des familles paramétrées équivalentes. Ainsi, on a une surjection

\{ \begin{matrix}Familles d’équivalence \\ de Q-matrices \end{matrix} \} ⟶ \{ \begin{matrix}Familles d’équivalence de \\ familles paramétrées de \\ solutions (de degré 60) \end{matrix} \}

Beukers démontre le résultat suivant:

Proposition 42 Soit x une solution primitive de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}. Alors, il existe une Q-matrice m et s ∈ Q^{2} tel que x = (φ ∘ m)(s). La classe d’équivalence de m est uniquement déterminée par la solution x.

Preuve: voir [Be], prop. 2.2.

Cette proposition est d’une grande importance pour notre étude. En fait, elle dit que l’ensemble des solutions de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} s’écrit comme une union disjointe de familles paramétrées.

On remarque qu’il existe une méthode explicite pour construire une Q-matrice m associée à une solution x, à partir de u ∈ φ^{−1}(x) quelconque. Soit la matrice jacobienne suivante

J = ( \begin{matrix}\frac{∂f}{∂u} & \frac{∂f}{∂v} \\ \frac{∂g}{∂u} & \frac{∂g}{∂v} \end{matrix} )_{.}

Le déterminant de la matrice J, évaluée en u, est −20h(u) qui est différent de zéro et on vérifie que la matrice inverse J^{−1}(u) est une Q-matrice pour x.

Exemple 43 Soit la solution (1, −1, 0) de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}. On vérifie que u = (0, (−1)^{1/20}) ∈ φ^{−1}(1, −1, 0). Alors, la matrice

m = J^{−1}(u) = ( \begin{matrix}\frac{(−1)^{9/20}}{2·54^{1/5}} & 0 \\ 0 & \frac{−(−1)^{1/20}}{20} \end{matrix} )

est une Q-matrice pour la solution (1, −1, 0). On a

(φ ∘ m)(12s, 20t) = (F (s, t), G(s, t), H(s, t)),

où

F (s, t) = 8916100448256s^{30} + 323208641124928s^{25}t^{5} − 43011966868480s^{20}t^{10}
−207463680s^{10}t^{20} − 75168s^{5}t^{25} + t^{30},
G(s, t) = −429981696s^{20} + 680804352s^{15}t^{5} − 10243584s^{10}t^{10} − 32832s^{5}t^{15} − t^{20},
H(s, t) = 12st(20736s^{10} + 1584s^{5}t^{5} − t^{10}).

Finalement, φ ∘ m(0, 20) = (1, −1, 0).

Remarque 44 À l’avenir, on utilisera les formes non homogènes de F, G et H pour définir une famille paramétrée (F, G, H). Ainsi, une famille paramétrée de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} sera donnée par trois polynômes non nuls F, G, H ∈ Q[t] satisfaisant pgcd(F, G, H) = 1 et F (t)^{2} + G(t)^{3} = H(t)^{5} pour tout t ∈ Q. Si γ =

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(Q),

γ(t) = \frac{at + b}{ct + d}

et l’équivalence entre familles paramétrées de solutions est définie de la même façon qu’auparavant.

3.2 Lien entre familles paramétrées de solutions

de x^{2} + y^{3} = z^{5} et représentations galoisiennes

Avant de montrer le lien qu’il existe entre les familles paramétrées de solutions pour l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} et les représentations galoisiennes, on doit énoncer un théorème qui nous sera utile. On fait d’abord une brève digression sur le corps de fonctions \overline{Q}(t).

On rappelle que le corps de fonctions Q(t) est défini par

\{\frac{f(t)}{g(t)} : f, g ∈ Q[T] et g non identiquement nul\}_{.}

Par exemple, la fonction rationnelle

\frac{1 − t}{2 + t}

est un élément bien défini de Q(t). Le corps \overline{Q}(t) est défini de façon similaire: où les fonctions f et g appartiennent maintenant à l’anneau des polynômes \overline{Q}[T]. L’anneau des entiers de \overline{Q}(t) peut se définir simplement comme étant l’anneau des polynômes \overline{Q}[T]. Ainsi, les idéaux premiers de l’anneau des entiers de \overline{Q}(t) sont les polynômes irréductibles à coefficients dans \overline{Q}. Étant donné que \overline{Q} est algébriquement clos, les polynômes irréductibles de \overline{Q}[T] sont les polynômes de degré un. Les idéaux engendrés par les polynômes constants sont bien sur l’anneau \overline{Q}[T] tout entier et ne sont pas intéressants. En excluant les idéaux (0) et (1), tout idéal premier de \overline{Q}[T] peut donc s’écrire (t − α), où α ∈ \overline{Q}.

Théorème 45 Soit L une extension finie de \overline{Q}(t). Si l’anneau des entiers de L est non ramifié en (t − α) pour tout α ∈ \overline{Q}, alors L = \overline{Q}(t).

Le lecteur remarquera que ce théorème est analogue à un théorème bien connu: il n’existe pas d’extension non triviale de Q qui soit non ramifiée en tous les nombres premiers p. Nous sommes présentement prêts pour le théorème principal de cette section.

Soit (A(t), B(t), C(t)) une famille paramétrée de l’équation x^{2}+y^{3} = z^{5}. Définissons

E_{t} : y^{2} = x^{3} + 27B(t)x − 54A(t)  (3.1)

une courbe elliptique sur Q(t), c’est-à-dire pour chaque valeur de t ∈ Q, E_{t} est une courbe elliptique définie sur Q si Δ(E_{t}) ≠ 0. La courbe E_{t} peut donc être vue comme une famille de courbes elliptiques.

Remarque 46 Le discriminant minimal Δ_{min} de la courbe

E : y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a

déterminé dans la remarque 9 se calcule de façon similaire pour la courbe E_{t} définie par l’équation (3.1).

Par analogie avec l’action du groupe de Galois Gal(\overline{Q}/Q) sur les points d’ordre n d’une courbe elliptique E/Q, le groupe de Galois Gal(\overline{Q(t)}/Q(t)) agit sur les points d’ordre n de la courbe E_{t}. Ainsi, soit

ρ : Gal(\overline{Q(t)}/Q(t)) ⟶ GL_{2}(F_{5})

la représentation fournie par les points de 5-division de la courbe E_{t}. Ayant fixé le choix de la courbe E_{t}, le théorème principal de cette section s’énonce ainsi:

Théorème 47 Il existe une injection

\{ \begin{matrix}Familles paramétrées de \\ solutions de \\ x^{2} + y^{3} = z^{5} \\ à équivalence près \end{matrix} \} ⟶ \{ \begin{matrix}Représentations \\ Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(F_{5}) \\ à conjugaison près \end{matrix} \}_{.}

Avant d’en faire la démonstration, voici un résultat de K. Rubin et A. Silverberg (thm. 5.1 dans [RS]).

Théorème 48 Soit une courbe elliptique E/Q d’équation

y^{2} = x^{3} + ax + b.

Définissons

a(t) = a ∑_{k=0}^{20} \binom{20}{k}α_{k}t^{k}, b(t) = b ∑_{k=0}^{30} \binom{30}{k}β_{k}t^{k}

où, α_{k}, β_{k} ∈ Q[J], avec J = 1 − j(E)/1728 = 27b^{2}/(4a^{3} + 27b^{2}) sont des polynômes donnés dans l’appendice B. Soit E_{t}, une courbe elliptique sur Q(t) définie par

y^{2} = x^{3} + a(t)x + b(t).

Alors, pour tout t ∈ Q tel que E_{t} est non singulière, ρ_{5}^{E_{t}} ≃ ρ_{5}^{E}. De plus, si ab ≠ 0 et E′ est une courbe elliptique sur Q telle que ρ_{5}^{E′} ≃ ρ_{5}^{E}, alors E′ ≃_{Q} E_{t_{0}} pour un certain t_{0} ∈ Q.

Preuve: voir [RS].

Lemme 49 Soit E_{t} une courbe elliptique définie sur Q(t) et soit Δ(t) son discriminant minimal. Si la représentation mod 5, définie par E_{t}, est constante, alors Δ(t) = df(t)^{5}, où d ∈ Q et f ∈ Q[t].

Preuve: Soit α ∈ \overline{Q} tel que Δ(α) = 0. Il suffit de montrer que ord_{(t−α)}Δ(t) ≡ 0 (mod 5). On considère E_{t} sur \overline{Q}((t − α)), c’est-à-dire les séries formelles de t − α à coefficients dans \overline{Q}. (On rappelle que toute série formelle non nulle de \overline{Q}((t − α)) s’écrit

f(t) = ∑_{i≥m_{0}} a_{i}(t − α)^{i}

avec m_{0} ∈ Z, a_{i} ∈ \overline{Q} et a_{m_{0}} ≠ 0. On définit la valuation ν(f) = ord_{(t−α)}f(t) de f comme étant l’entier m_{0}. Le corps \overline{Q}((t − α)) est un corps local dont l’anneau de valuation est \overline{Q}[[t − α]], c’est-à-dire l’ensemble des séries formelles à exposant ≥ 0. Son corps résiduel est \overline{Q}.)

Puisque \overline{Q} est algébriquement clos, la courbe E_{t}, considérée sur \overline{Q}((t − α)), a réduction multiplicative déployée et la théorie de Tate fournit un isomorphisme entre E_{t}(\overline{Q}((t − α))) et \overline{Q}((t − α))^{×}/q^{Z}, où ν(q) > 0 (cf. [Si2], Chap. V).

L’hypothèse que la représentation mod 5 est constante équivaut à dire que les points d’ordre 5 de E_{t}(\overline{Q(t)}) sont dans \overline{Q}(t) ↪ \overline{Q}((t − α)). L’isomorphisme donné par la théorie de Tate entraîne que q est une puissance 5^{ième} et donc ν(q) ≡ 0 (mod 5). Puisque la valuation de q coïncide avec la valuation de Δ, on a ν(Δ) ≡ 0 (mod 5), c’est-à-dire ord_{(t−α)}Δ(t) ≡ 0 (mod 5). □

Preuve du théorème 47: En utilisant le théorème 48 et le lemme 49, il est facile de montrer que la courbe

E_{t} : y^{2} = x^{3} + 27B(t)x − 54A(t)

provenant d’une famille paramétrée (A(t), B(t), C(t)), donne lieu a une représentation Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(F_{5}) définie à conjugaison près. Au lieu de faire appel à ces deux résultats, voici une démonstration directe de l’existence de l’application.

Soit L l’extension finie de Q(t) sur lequel sont définis les points de 5-division de la courbe E_{t} définie par (3.1). On vérifie qu’il n’y a pas de premier propre p(t) dans l’anneau des entiers de Q(t), c’est-à-dire l’anneau des polynômes Q[T], qui se ramifie dans l’anneau des entiers de L. En effet, supposons que p(t) se ramifie dans l’anneau des entiers de L, c’est-à-dire p(t) divise le discriminant de L. Le discriminant de L est seulement divisible par les premiers qui divisent le discriminant minimal de E_{t}. En d’autres mots, E_{t} a mauvaise réduction en p(t). Mais alors, la courbe E_{t} a réduction multiplicative en p(t) et p(t) divise le discriminant avec multiplicité 5 (voir l’exemple 8 et la remarque 46). En utilisant le théorème 36, pour la courbe E_{t}, la représentation ρ est non ramifiée en p(t) ce qui contredit notre hypothèse. Soit maintenant le corps L′, l’union du corps L et de \overline{Q}(t). Alors, L′ est une extension de \overline{Q}(t) et L ⊂ L′. Puisque l’anneau des entiers de \overline{Q}(t) est non ramifié en (t − α) ∀α ∈ \overline{Q} et que l’anneau des entiers de L est non ramifié pour tout idéal propre de Q[T], alors l’anneau des entiers de L′ est aussi non ramifié en (t − α) ∀α ∈ \overline{Q}. Par le théorème 45, L′ = \overline{Q}(t) et L ⊂ \overline{Q}(t). Ainsi, on a Gal(\overline{Q(t)}/\overline{Q}(t)) ⊂ Gal(\overline{Q(t)}/L) = ker ρ et la représentation ρ “ne dépend pas de t”.

Pour montrer l’injectivité, on fait appel au théorème 48 et au lemme 49. Soient (a, b, c) et (a′, b′, c′) deux solutions primitives de x^{2} + y^{3} = z^{5} et les courbes

\begin{matrix}E : & y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a \\ E′ : & y^{2} = x^{3} + 27b′x − 54a′ \end{matrix}

telles que ρ_{5}^{E} ≃ ρ_{5}^{E′}. Soit

E_{t} : y^{2} = x^{3} + 27b(t)x − 54a(t),

où a(t) = a ∑_{k=0}^{30} \binom{30}{k}β_{k}t^{k} et b(t) = b ∑_{k=0}^{20} \binom{20}{k}α_{k}t^{k} sont les polynômes obtenus par le théorème 48.

Le discriminant minimal de la courbe E_{t} est de la forme ±2^{u}3^{v}(a(t)^{2} + b(t)^{3}) (voir l’exemple 8 et la remarque 9). En utilisant le lemme 49 et ses notations avec la courbe E_{t}, on a a(t)^{2} + b(t)^{3} = f(t)^{5} et d = ±2^{u}3^{v}; on pose c(t) = f(t).

Par le théorème 48, il existe un t_{0} ∈ Q tel que E_{t_{0}} ≃_{Q} E′. En fait, E_{t_{0}} = E′. En effet, les courbes E_{t_{0}} et E′ sont données par

\begin{matrix}E_{t_{0}} : & y^{2} = x^{3} + 27b(t_{0})x − 54a(t_{0}) et \\ E′ : & y^{′2} = x^{′3} + 27b′x′ − 54a′. \end{matrix}

Puisque E_{t_{0}} ≃_{Q} E′, il existe un u ∈ Q^{×} tel que x = u^{2}x′ et y = y^{3}y′, c’est-à-dire u^{4}b′ = b(t_{0}) et u^{6}a′ = a(t_{0}) (cf. [Si1] p.50). On a

c(t_{0})^{5} = a(t_{0})^{2} + b(t_{0})^{3} = (u^{6}a′)^{2} + (u^{4}b′)^{3} = u^{12}(a^{′2} + b^{′3}) = u^{12}c^{′5}

et puisque u ∈ Q, u = ±1 et E_{t_{0}} = E′.

Puisque (a, b, c) = (a(0), b(0), c(0)) et (a′, b′, c′) = (a(t_{0}), b(t_{0}), c(t_{0})), ces deux solutions sont dans une même famille paramétrée. □

3.3 Construction de familles paramétrées de so-

lutions

Dans la prochaine section, on donne une liste des familles paramétrées de solutions de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} qui nous sont connues jusqu’à ce jour. Cette liste est constituée de familles paramétrées de solutions trouvées par Beukers ainsi que celles qu’on a concues par une nouvelle méthode. Les familles paramétrées de solutions de Beukers proviennent de toutes les solutions (a, b, c) trouvées à l’ordinateur dont |c| ≤ 10000 et |b| ≤ 3000000. Dans cette section, on explique une méthode pour trouver de nouvelles familles paramétrées de solutions qui donneront lieu à des représentations mod 5 irréductibles.

D’après la section précédente, à toute famille paramétrée de l’équation x^{2} +y^{3} = z^{5}, on peut associer une représentation galoisienne Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(F_{5}). Par la construction dans la démonstration du théorème 47, il est facile de construire la représentation mod 5 à partir d’une famille paramétrée (A(t), B(t), C(t)) de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}. En effet, il suffit de prendre n’importe quelle solution particulière (a, b, c) de la famille (A(t), B(t), C(t)) et de considérer la courbe elliptique d’équation

y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a.

En prenant la représentation de Gal(\overline{Q}/Q) fournie par les points de 5-division de cette courbe elliptique, on obtient la représentation mod 5 cherchée, définie à conjugaison près.

Maintenant, que fait-on si on veut construire la famille paramétrée à partir d’une représentation Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(F_{5})? On suppose, dans cette section, que la représentation ρ est irréductible. Premièrement, on remarque que toutes les représentations irréductibles associées aux familles paramétrées de solutions de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} satisfont les hypothèses du théorème de Ribet.

En effet, toute représentation ρ : Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(F_{5}) considérée provient d’une courbe elliptique E donnée par l’équation

y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a,

où a^{2} + b^{3} = c^{5} est une solution primitive. La courbe E a un déterminant minimal Δ_{min} = ±2^{s}3^{t}p_{1} ⋯ p_{k} et un conducteur N = 2^{α}3^{β}p_{1} ⋯ p_{k}, où {p_{1}, … p_{k}} sont les diviseurs de c, exceptés possiblement 2 et 3. Pour utiliser le théorème de Ribet, on doit trouver la valeur de N(ρ). Voici d’abord un lemme qui nous aidera à calculer N(ρ).

Lemme 50 Soit (a, b, c) une solution primitive de x^{2} + y^{3} = z^{5} et on soit la courbe elliptique E d’équation

y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a

et de discriminant minimal Δ_{min}. Si p = 2 ou 3, alors ord_{p}(Δ_{min}) ≢ 0 (mod 5).

Preuve: On sait que le discriminant de E est Δ = 2^{6}3^{9}c^{5} (voir l’exemple 8). La courbe minimale de E est obtenue par un changement de coordonnées

x = u^{2}x′ + r et y = u^{3}y′ + u^{2}sx′ + t

où u ∈ Z \ {0} et r, s, t, ∈ Z (cf. [Si1], Chap. VII, prop. 1.3). Avec ces nouvelles coordonnées, le discriminant minimal de E est donné par Δ_{min} = u^{−12}Δ. Puisque a et b sont copremiers, les seules valeurs possibles de u sont 1, 2, 3 ou 6 (ceci se voit en regardant les quantités c_{4}, c_{6} et Δ). On a donc

ord_{2}(Δ_{min}) = \{ \begin{matrix}6 & si u = 1, 3 \\ 11 & si u = 2, 6 \end{matrix} et ord_{3}(Δ_{min}) = \{ \begin{matrix}9 & si u = 1, 2 \\ 2 & si u = 3, 6 \end{matrix}

Dans tous les cas, si p ∈ {2, 3}, ord_{p}(Δ_{min}) ≢ 0 (mod 5). □

Avec ce lemme, il est maintenant facile de trouver le valeur de N(ρ). Puisque ord_{p}(Δ_{min}) ≢ 0 (mod 5) pour p = 2 et 3, et que ord_{p}(Δ_{min}) ≡ 0 (mod 5) pour les autres nombres premiers p (on remarque que la courbe E est semi-stable pour ces p), N(ρ) = 2^{α}3^{β}, où α et β sont les exposants de 2 et 3 respectivement du conducteur N de E. De plus, les exposants α et β sont bornés par 8 et 5 respectivement (§1.1).

Ainsi, par le théorème de Ribet, toute représentation irréductible ρ : Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(F_{5}), associée à une famille paramétrée (A(t), B(t), C(t)) de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}, peut être obtenue à partir d’une “newform” f de niveau divisant 2^{8}3^{5}. On dira alors que la fonction f est associée à la famille paramétrée (A(t), B(t), C(t)).

On énonce ce résultat sous forme de théorème bien qu’il soit une conséquence directe du théorème 47 et du théorème de Ribet.

Théorème 51 Si la famille paramétrée (A(t), B(t), C(t)) de l’équation x^{2}+y^{3} = z^{5} donne lieu à une représentation irréductible, alors il existe une “newform” normalisée f mod 5 de niveau divisant 2^{8}3^{5} associée à (A(t), B(t), C(t)).

Corollaire 52 Soient (A(t), B(t), C(t)) et (A′(t), B′(t), C′(t)) deux familles paramétrées de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} qui donnent lieu à des représentations irréductibles et soient f et f′ leur “newform” normalisée mod 5 de niveau divisant 2^{8}3^{5} associée. Si les familles (A(t), B(t), C(t)) et (A′(t), B′(t), C′(t)) sont équivalentes, alors f ≡ f′ (mod 5).

Ce résultat donne un critère pour vérifier que deux solutions particulières de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} n’appartiennent pas à la même famille paramétrée.

Voici d’abord une première application de ce résultat qui est utile pour déterminer des familles paramétrées de solutions non mentionnées par Beukers dans [Be].

Soit (a, b, c) une solution primitive de l’équation x^{2}+y^{3} = z^{5}. Alors, (−a, b, c) est aussi une solution primitive. Bien que cette dernière solution soit obtenue de façon banale à partir de la première, ces deux solutions n’appartiennent pas en général à la même famille paramétrée. Si (A(t), B(t), C(t)) est la famille paramétrée de la solution (a, b, c), celle de (−a, b, c) est simplement (−A(t), B(t), C(t)). Cependant, les polynômes (A(t), B(t), C(t)) et (−A(t), B(t), C(t)) ne sont pas en général GL_{2}(Q)- équivalents, c’est-à-dire il n’existe pas necéssairement une matrice γ ∈ GL_{2}(Q) telle que (A(γ(t)), B(γ(t)), C(γ(t))) soit égale à (−A(t), B(t), C(t)).

En effet, soient

\begin{aligned}E & : & y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a et \\ E′ & : & y^{2} = x^{3} + 27bx + 54a \end{aligned}

les courbes elliptiques construites à partir des solutions (a, b, c) et (−a, b, c). Ces deux courbes sont des tordues l’une de l’autre sur Q(i); l’application

(x, y) ⟼ (−x, iy)

est un isomorphisme entre E et E′. Les coefficients a_{p}(E′) sont égaux à (\frac{−1}{p}) a_{p}(E), c’est-à-dire

a_{p}(E′) = \{ \begin{matrix}a_{p}(E) & si p ≡ 1 (mod 4) \\ −a_{p}(E) & si p ≡ −1 (mod 4), \end{matrix}

(voir théorème 17). Si f et f′ sont les “newforms” normalisées de niveau divisant 2^{8}3^{5} associées à E et E′ respectivement, il résulte, en regardant leur série de Fourier, que f = f′ seulement si a_{p}(E) = 0 pour p ≡ −1 (mod 4). En général, on a f ≠ f′. En utilisant le corollaire 52, on conclut que les solutions (a, b, c) et (−a, b, c) ne sont, en général, pas dans la même famille paramétrée.

On a montré le théorème suivant:

Théorème 53 Soit (a, b, c) une solution primitive de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} et soit la courbe elliptique E d’équation

y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a.

La solution (−a, b, c) appartient à la même famille paramétrée de solutions que (a, b, c) seulement si

a_{p}(E) = 0  pour  p ≡ −1 (mod 4).

Après avoir construit toutes les familles paramétrées de solutions associées aux solutions (−a, b, c), où (a, b, c) sont les solutions particulières trouvées par Beukers, on aimerait construire de nouvelles familles paramétrées de solutions. Ces familles ne donneront que des solutions primitives satisfaisant |b| > 10000 ou |c| > 3000000.

On note d’abord que l’on peut construire une famille paramétrée à partir d’une de ses solutions particulières (cf. [Be]). Ainsi, pour trouver une nouvelle famille paramétrée, il suffit de trouver une solution particulière qui donne lieu à une “newform” normalisée de niveau divisant 2^{8}3^{5} qui n’apparaît pas dans la liste constituée de “newforms” normalisées provenant de familles paramétrées de solutions déjà connues. Ceci peut se faire sans difficulté; si on a une solution primitive (a, b, c) de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}, on calcule les coefficients a_{p} de la courbe elliptique

E : y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a

(à l’aide de l’ordinateur, par exemple PARI) et on identifie avec les tables disponibles (table de Cremona, par exemple) la fonction propre normalisée associée (de niveau divisant 2^{8}3^{5}) à l’aide des coefficients a_{p}(E).

Par le théorème 51, il est donc naturel d’essayer de construire une solution primitive de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} à partir d’une “newform” normalisée f de niveau divisant 2^{8}3^{5}.

Lorsque la fonction f a niveau N et admet des coefficients de Fourier rationnels, le théorème 25 de Eichler-Shimura conclut qu’il existe une courbe elliptique E_{f} de conducteur N associée à f. Il est tentant alors de rendre le modèle de la courbe E_{f} de la forme

y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a

pour une certaine solution primitive a^{2} + b^{3} = c^{5}. L’obstacle avec cette méthode est que le conducteur de la courbe E_{f} est N = 2^{α}3^{β} (α ≤ 8, β ≤ 5) et il est indépendant du modèle (sur Q) de la courbe. Puisque le conducteur de la courbe

E : y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a

(a^{2} + b^{3} = c^{5}) est divisible précisement par {diviseurs premiers de c} ⋃ {2, 3}, la courbe E_{f} peut seulement donner lieu à une solution (a, b, c), où c est de la forme 2^{s}3^{t}. En utilisant les mêmes idées que dans la démonstration du lemme 50, on montre que s ∈ {0, 1, 2} et t ∈ {0, 1} et donc, ces solutions donneront lieu à des familles paramétrées de solutions trouvées par Beukers.

On utilise les travaux de Rubin et Silverberg pour remédier à ce problème. Dans [RS], à partir d’une courbe elliptique E définie sur Q, les auteurs donnent explicitement l’ensemble des courbes elliptiques E′/Q satisfaisant ρ_{5}^{E} ≃ ρ_{5}^{E′}.

Soit une “newform” normalisée f à coefficients de Fourier rationnels de niveau divisant 2^{8}3^{5} et soit E_{f}, la courbe elliptique associée par le théorème 25 de Eichler-Shimura. Les résultats de Rubin et Silverberg nous fournissent les courbes elliptiques E/Q ayant la même représentation mod 5 que celle de E_{f}. Parmi ces courbes E, on regarde celles qui sont susceptibles d’avoir un modèle de la forme

y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a  (3.2)

pour une certaine solution primitive (a, b, c). Il est malheureusement trop difficile de vérifier directement s’il existe une courbe E ayant un tel modèle. On a cependant recours aux j-invariants associés aux courbes elliptiques E pour déterminer s’il peut exister une courbe ayant un modèle de la forme (3.2). En effet, on a vu qu’une courbe elliptique ayant un modèle de la forme (3.2), où a^{2}+b^{3} = c^{5}, a un j-invariant égal à \frac{1728b^{3}}{c^{5}} (voir exemple 10). En regardant les j-invariants des courbes E, il est possible de voir s’il en existe de la forme \frac{1728b^{3}}{c^{5}} . Si tel est le cas et si c^{5} − b^{3} est un carré, on obtient une solution primitive de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}.

Cette méthode admet par contre des limites.

(1) La fonction qui exprime le j-invariant de la famille des courbes elliptiques E, donnée par le théorème de Rubin et Silverberg, est un quotient de polynômes dans Q[J], où J est le j-invariant de la courbe E_{f}. Étant donné la complexité de cette fonction, on a pas d’autre choix que de spécialiser cette fonction en des valeurs particulières. Il nous est donc difficile de trouver, a priori, les courbes elliptiques E ayant un j-invariant de la forme

\frac{1728b^{3}}{c^{5}} .

(2) En calculant le j-invariant d’une courbe elliptique, on considère la classe d’isomorphisme de la courbe. Ainsi, soit la courbe elliptique E_{f} et soit une courbe E satisfaisant ρ_{5}^{E_{f}} ≃ ρ_{5}^{E}, j(E) = \frac{1728b^{3}}{c^{5}} et c^{5} − b^{3} = a^{2}. La courbe d’équation

E′ : y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a

est isomorphe à la courbe E (puisqu’elles ont le même j-invariant) mais la représentation ρ_{5}^{E} n’est pas en général isomorphe à ρ_{5}^{E′}. Si tel est le cas, la courbe E′ est une tordue de E sur une extension non triviale de Q. La “newform” f′ de niveau divisant 2^{8}3^{5} associée à E′ sera alors une tordue de la fonction f.

Malgré ces inconvénients, on trouve une nouvelle famille paramétrée.

Exemple 54 Les notations utilisées dans cet exemple sont celles de Cremona dans [Cr]. Soit f la “newform” 288A de niveau 2^{5}3^{2}. La courbe elliptique E_{f} (=288A1) d’équation

E_{f} : y^{2} = x^{3} + 3x

est associée à la fonction f par le théorème de Eichler-Shimura. On utilise le théorème 5.5 dans [RS] avec D = −3. Si j(t) est le j-invariant de la courbe elliptique E_{t} (selon les notations de [RS]), alors on vérifie que

j(\frac{1}{6}) = \frac{1728 · (−469957964531)^{3}}{(4546613)^{5}} .

De plus, (4546613)^{5} − (−469957964531)^{3} = (325173797539747828)^{2}; cette solution est une solution primitive de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}. Si

\begin{aligned}a & = & 325173797539747828, \\ b & = & −4699579646531, \\ c & = & 4546613 et \end{aligned}

E : y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a,

en calculant les coefficients a_{p}(E), on vérifie que la “newform” normalisée associée à E est 288A. Bien qu’on obtienne la même forme modulaire (288A) au départ et à l’arrivée, ceci n’a généralement pas lieu (voir remarque (2) ci-haut).

3.4 Liste des familles paramétrées de solutions

Dans cette section, on donne une liste des familles paramétrées de solutions de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} qui nous sont connues jusqu’à ce jour. Cette liste n’est pas complète et on croit qu’elles sont beaucoup plus nombreuses que celles mentionnées ici.

Les polynômes A(t) et B(t) d’une famille paramétrée (A(t), B(t), C(t)) sont déterminés à partir du polynôme C(t) (cf. [Be]). Si c(s, t) dénote l’homogénisation du polynôme C(t), alors les polynômes homogènes a(s, t) et b(s, t) associés aux polynômes A(t) et B(t) respectivement sont donnés par

b = λ | \begin{matrix}c_{ss} & c_{st} \\ c_{st} & c_{tt} \end{matrix} | et a = μ | \begin{matrix}c_{s} & c_{t} \\ b_{s} & b_{t} \end{matrix} |

où c_{s} = \frac{∂c(s,t)}{∂s} et c_{st} = \frac{∂^{2}c(s,t)}{∂s∂t}, etc. et λ, μ ∈ Q. Les polyômes A(t) et B(t) sont obtenus simplement en déshomogénisant les polynômes a(s, t) et b(s, t). Pour connaître les polynômes A(t), B(t) et C(t) d’une famille paramétrée, il est donc suffisant de donner le polynôme C(t) ainsi que les constantes λ et μ.

En vertu du théorème 51, on donne la “newform” mod 5 de niveau divisant 2^{8}3^{5} associée à chaque famille paramétrée (donnant lieu à une représentation mod 5 irréductible). Les notations uilisées sont celles de Cremona dans [Cr]. Lorsque la famille paramétrée donne lieu à une représentation réductible, on inscrit “réductible” au lieu de la “newform”.

Pour chaque famille paramétrée, le tableau qui suit donne une solution primitive (a, b, c) qui provient de la famille paramétrée, le numéro du polynôme C(t) donné dans l’appendice A, les valeurs λ et μ correspondantes et la “newform” associée.

a  b c C(i)  \frac{1}{λ}  \frac{1}{μ}  forme
1  -240 réductible

-1  -1 0 C(1) 17424 240 réductible 0  1 1 C(2) 17424 240  288E 1  120 1728A -1 0 1 C(3) 4356 -120 1728W 3  240 1728Z -3  -2 1 C(4) 17424 -240 1728Q 10  240  96B -10  -7 -3 C(5) 17424 -240  96A 39151  240  24A -39151 -1153 -6 C(6) 17424 -240  48A

7792  240 1728AA -7792 -393 7 C(7) 17424 -240 1728R

411  240  216A -411  -41 10 C(8) 17424 -240  432H 654  240 1728D -654 127 19 C(9) 17424 -240  1728I

a  b  c C(i)  \frac{1}{λ}  \frac{1}{μ}  forme
1  -240 réductible
36599  240 1728Z
-36599 -1226 -55 C(10) 17424 -240 1728N
12092581  120 réductible
-12092581  -52684  57 C(11) 4356 -120 réductible
647992  240  864D
-647992  -5879  185 C(12) 17424 -240  864A
1506463  -16514  -295 C(13) 17424 240  576F
2730128  240 1728Y
-2730128  12931  395 C(14) 17424 -240 1728O
3353687  240  192B
-3353687  -29158  -423 C(15) 17424 -240  192A
4387861  -120 réductible
-4387861  29396  537 C(16) 4356 120 réductible
5574720  240  864D
-5574720  51701  701 C(17) 17424 -240  864A
4942947  240  216B
-4942947  53831  710 C(18) 17424 -240  432D
168454745  240 1728H
-168454745  -251382  1657 C(19) 17424 -240 1728C
128301258  -240  864K
-128301258  -322343  -1763 C(20) 17424 240  864C
184589480  -240  864I
-184589480  -442143  -2207 C(21) 17424 240  864L
-888155653  -894906  2353 C(22) 17424 240  576G
74330984303  240 réductible
-74330984303 -16061281 16908 C(23) 17424 -240 réductible
325173797539747828 -469957964531 4546613 C(24) 17424 -240  288A

Remarque 55 Les solutions (±74330984303, −16061281, 16908) ont été obtenues à partir de la famille paramétrée C(23), mentionnée par Don Zagier (cf. [Be]).

3.5 Borne supérieure pour le nombre de familles

paramétrées de solutions

On rappelle que toute représentation ρ : Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(F_{5}) apparaissant dans le théorème 47 provient d’une courbe elliptique

E : y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a

pour une certaine solution primitive (a, b, c) de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5}. De plus, cette représentation est non ramifiée à l’extérieur de {2, 3, 5} (voir exemple 34). Étant donné le théorème 47, pour trouver une borne supérieure pour le nombre de familles paramétrées de solutions, il suffit d’estimer le nombre de représentations ρ : Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(F_{5}) non ramifiées à l’extérieur de \{2, 3, 5\} provenant de certaines courbes elliptiques.

Soit N cette estimation et divisons N en trois termes

N = N_{irréd.} + N_{tot. réd.} + N_{triang.},

où N_{irréd.}, N_{tot. réd.} et N_{triang.} correspondent aux estimations de représentations qui sont irréductibles, totalement réductibles et réductibles mais non totalement réductibles (c.-à-d. que les matrices sont triangulaires). On distingue d’abord les représentations irréductibles et réductibles.

a) Représentations irréductibles

Lorsque la représentation ρ est irréductible, le théorème de Ribet indique que ρ provient d’une “newform” normalisée de niveau divisant 2^{8}3^{5}. Avant de poursuivre, voici d’abord une remarque.

En partant d’une courbe elliptique

E : y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a

où a^{2} +b^{3} = c^{5}, on associe, par la conjecture de Shimura-Taniyama, une “newform” f ∈ S(N) à coefficients de Fourier rationnels, où N est le conducteur de la courbe E (N = 2^{α}3^{β}p_{1} ⋯ p_{k} où {p_{1}, …, p_{k}} sont les diviseurs premiers (≠ 2, 3) de c et α ≤ 8, β ≤ 5 ). Si la représentation ρ = ρ_{5}^{E} fournie par les points de 5-division de la courbe E est irréductible alors elle est isomorphe à la semi-simplification ρ_{5}^{f} de ρ_{5}^{E} (§2.4). Le théorème de Ribet indique qu’il existe une “newform” normalisée f′ de niveau plus petit, plus précisement f′ ∈ S(2^{α}3^{β}), et un idéal λ de O_{f} tels que ρ soit isomorphe à ρ_{λ}^{f′}. Bien que la forme modulaire du départ f ait des coefficients de Fourier rationnels, la fonction f′ ∈ S(2^{α}3^{β}) ne possède pas necéssairement des coefficients de Fourier rationnels. Donc, en abaissant le niveau de la forme modulaire par le théorème de Ribet, on perd la propriété que les coefficients de Fourier de la nouvelle forme modulaire, obtenue par le théorème de Ribet, ait des coefficients de Fourier rationnels.

Voici un exemple, tiré de [Da], qui illustre ce phénomène. Exemple 56 La courbe elliptique

E : y^{2} + xy = x^{3} − x^{2} − 10x − 12

est une courbe modulaire de conducteur N = 2·23 et discriminant Δ_{min} = −2^{10} ·23. Puisque la représentation ρ = ρ_{5}^{E} fournie par les points de 5-division de E est irréductible, le théorème de Ribet indique que la représentation ρ est modulaire de niveau 23, c’est-à-dire que la représentation ρ provient d’une “newform” f ∈ S(23). Or, il n’existe pas de fonction propre normalisée f dans S(23) ayant des coefficients de Fourier rationnels. En effet, si f avait des coefficients de Fourier rationnels, il existerait, par le théorème de Eichler-Shimura, une courbe elliptique E_{f}/Q de conducteur 23 mais il n’existe pas de telle courbe elliptique définie sur Q.

Il est possible de calculer la fonction propre normalisée f ∈ S(23) obtenue par le théorème de Ribet (cf. [Da], section 3, exemple 3). Cette forme modulaire a ses coefficients de Fourier dans Z[\sqrt{5}] et le début de son expansion s’écrit

f = q − \overline{ω}q^{2} − \sqrt{5}q^{3} − ωq^{4} − 2\overline{ω}q^{5} − (2 + \overline{ω})q^{6} + 2ωq^{7} − \sqrt{5}q^{8}
+ 2q^{9} + 2(1 + \overline{ω})q^{10} − 2(1 + ω)q^{11} + (2 + ω)q^{12} + 3q^{13} + 2q^{14}
− 2(3 − ω)q^{15} − 3\overline{ω}q^{16} + 2(1 + \overline{ω})q^{17} − \overline{ω}q^{18} − 2q^{19} + …

où ω = \frac{1+\sqrt{5}}{2} est le nombre d’or et \overline{ω} est son conjugué complexe. Puisque la représentation ρ_{(\sqrt{5})}^{f} est isomorphe à ρ_{5}^{E}, les coefficients de Fourier c_{p}(f) de f sont congruents aux coefficients a_{p}(E) de E modulo (\sqrt{5}) (p ≠ 2, 23) (théorème 32 et 38). On vérifie les premières valeurs dans la tableau suivant:

\begin{matrix}p & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 \\ a_{p}(E) & - & 0 & 4 & -4 & 2 & -2 & -2 & -2 \\ c_{p}(f) & −\overline{ω} & −\sqrt{5} & −1 + \sqrt{5} & 1 + \sqrt{5} & −3 − \sqrt{5} & 3 & 3 − \sqrt{5} & -2 \end{matrix}

Calcul de N_{irréd.}: Pour estimer le nombre de représentations irréductibles ρ : Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(F_{5}) provenant d’une certaine courbe elliptique

E : y^{2} = x^{3} + 27bx − 54a

où a^{2} + b^{3} = c^{5}, on calcul le nombre de “newforms” de S(N), où N divise 2^{8}3^{5}. Puisque ces formes modulaires de S(N) sont linéairement indépendantes, leur nombre est au plus égal à la dimension de l’espace S^{new}(N). On calcul la dimension de cet espace en calculant la dimension de S(N), par le théorème 21, et la dimension de S^{old}(N) récursivement, utilisant l’équation (2.1), page 19. La dimension de S^{new}(N) est alors la différence de la dimension de S(N) avec la dimension de S^{old}(N). On retrouve les valeurs de ces dimensions pour les diviseurs de 2^{8}3^{5} dans le tableau suivant:

N S_{2}(N) S_{2}^{old}(N) S_{2}^{new}(N)  N S_{2}(N) S_{2}^{old}(N) S_{2}^{new}(N)
2  0  0  0 2 · 3^{3}  4  2  2
2^{2}  0  0  0 2^{2} · 3^{3}  10  9  1
2^{3}  0  0  0 2^{3} · 3^{3}  25  21  4
2^{4}  0  0  0 2^{4} · 3^{3}  55  47  8
2^{5}  1  0  1 2^{5} · 3^{3}  121  105  16
2^{6}  3  2  1 2^{6} · 3^{3}  253  221  32
2^{7}  9  5  4 2^{7} · 3^{3}  529  465  64
2^{8}  21  15  6 2^{8} · 3^{3} 1081  953  128
3  0  0  0  3^{4}  4  2  2
2 · 3  0  0  0 2 · 3^{4}  16  12  4
2^{2} · 3  0  0  0 2^{2} · 3^{4}  37  33  4
2^{3} · 3  1  0  1 2^{3} · 3^{4}  85  73  12
2^{4} · 3  3  2  1 2^{4} · 3^{4}  181  159  22
2^{5} · 3  9  7  2 2^{5} · 3^{4}  385  337  48
2^{6} · 3  21  17  4 2^{6} · 3^{4}  793  701  92
2^{7} · 3  49  41  8 2^{7} · 3^{4} 1633  1441  192
2^{8} · 3  105  89  16 2^{8} · 3^{4} 3313  2937  376
3^{2}  0  0  0  3^{5}  19  7  12
2 · 3^{2}  0  0  0 2 · 3^{5}  64  52  12
2^{2} · 3^{2}  1  0  1 2^{2} · 3^{5}  136  124  12
2^{3} · 3^{2}  5  4  1 2^{3} · 3^{5}  289  253  36
2^{4} · 3^{2}  13  11  2 2^{4} · 3^{5}  595  523  72
2^{5} · 3^{2}  33  28  5 2^{5} · 3^{5} 1225  1081  144
2^{6} · 3^{2}  73  64  9 2^{6} · 3^{5} 2485  2197  288
2^{7} · 3^{2}  161  141  20 2^{7} · 3^{5} 5041  4465  576
2^{8} · 3^{2}  337  299  38 2^{8} · 3^{5} 10153  9001  1152
3^{3}  1  0  1

Théorème 57 Il existe au plus 3432 familles paramétrées de solutions de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} donnant lieu à des représentations mod 5 irréductibles.

On pose alors

N_{irréd.} = 3432.

Voici quelques remarques sur ce résultat.

(1) Cette borne s’avère quelque peu grossière. En effet, puisque les représentations qu’on considère proviennent de certaines courbes elliptiques, elles prennent leurs valeurs dans le groupe GL_{2}(F_{5}). Or, parmis les “newforms” f qu’on a comptées, certaines d’entre elles donnent lieu à des représentations ρ_{λ}^{f} prenant leurs valeurs dans GL_{2}(F_{λ}) qui est strictement plus grand que GL_{2}(F_{5}) (§2.4). Ces “newforms” normalisées ne peuvent pas être obtenues à partir d’une solution de x^{2} + y^{3} = z^{5} et ne devraient donc pas être comptées. Ceci peut se faire en étudiant l’anneau des entiers sur lequel sont définis les coefficients de Fourier de la forme modulaire f et fera l’un des objets d’une étude ultérieure.

(2) Toutes les familles paramétrées de solutions de l’équation x^{2} + y^{3} = z^{5} trouvées jusqu’à ce jour donnent lieu à des “newforms” de niveau inférieur ou égal à 1728 = 2^{6} · 3^{3}. Une question qu’on peut se poser est la suivante:

Question 58 Existe-il des familles paramétrées de solutions de l’équation x^{2}+y^{3} = z^{5} donnant lieu à des “newforms” de niveau minimal plus grand que 1728?

Si la réponse à cette question s’avérait être “non”, la valeur de N_{irréd.} serait considérablement améliorée; elle passerait de 3432 à 92. Cette question mérite qu’on s’y penche et fera aussi l’un des objets d’une étude future.

b) Représentations réductibles

On a vu dans la section §2.4 que si ρ : Gal(\overline{Q}/Q) → GL_{2}(F_{5}) provient d’une courbe elliptique E et est réductible, alors dans une base de E[5] judicieusement choisie, la représentation ρ s’écrit

ρ : σ ⟼ ( \begin{matrix}ψ_{1}(σ) & c(σ) \\ 0 & ψ_{2}(σ) \end{matrix} )_{.}

Étant donné que ρ est un homomorphisme, il satisfait ρ(στ) = ρ(σ)ρ(τ) et cette condition se traduit en termes matriciels par

( \begin{matrix}ψ_{1}(στ) & c(στ) \\ 0 & ψ_{2}(στ) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ψ_{1}(σ)ψ_{1}(τ) & ψ_{1}(σ)c(τ) + c(σ)ψ_{2}(τ) \\ 0 & ψ_{2}(σ)ψ_{2}(τ) \end{matrix} )  (3.3)

pour tout σ, τ ∈ Gal(\overline{Q}/Q). On voit que ψ_{1} et ψ_{2} sont des homomorphismes et on pose ψ = \frac{ψ_{2}}{ψ_{1}} . Puisque le déterminant de la représentation ρ est le caractère cyclotomique χ_{5}, c’est-à-dire ψ_{1} · ψ_{2} = χ_{5} (voir la proposition 30), le nombre d’homomorphismes

ψ : Gal(\overline{Q}/Q) ⟶ F_{5}^{×}

est égal au nombre de possibilités d’homomorphismes ψ_{1} et ψ_{2}.

Le corps K découpé par l’homomorphisme ψ, c’est-à-dire le corps fixé par le noyau de ψ, est une extension abélienne de Q (de degré 1, 2 ou 4) puisque F_{5}^{×} est commutatif. Théorème 59 (Kronecker-Weber) Toute extension finie abélienne de Q est contenue dans un corps cyclotomique.

Preuve: voir [Wa], Chap. 14.

Par ce théorème, le corps K est contenu dans Q(ζ_{n}) pour un certain n.

Proposition 60 Le nombre premier p se ramifie dans Q(ζ_{n}) si et seulement si p divise n.

Preuve: voir [Wa], prop. 2.3.

Étant donné que la représentation ρ est non ramifiée à l’extérieur de {2, 3, 5}, le corps K est contenu dans Q(ζ_{2^{a}3^{b}5^{c}}) pour un certain a, b et c ∈ Z_{>0}.

Ainsi, puisque l’homomorphisme

ψ : Gal(\overline{Q}/Q) ⟶ F_{5}^{×}

est non ramifié en dehors de 2,3 et 5, il se factorise à travers le quotient de Gal(\overline{Q}/Q) à Gal(Q(ζ_{2^{a}3^{b}5^{c}})/Q). Par abus de notation, on notera

ψ : Gal(Q(ζ_{2^{a}3^{b}5^{c}})/Q) ⟶ F_{5}^{×}

l’homomorphisme obtenu par passage au quotient.

Comment déterminer les entiers a, b et c?

Proposition 61 Gal(Q(ζ_{n})/Q) ≃ (Z/nZ)^{×}

Preuve: voir [FT], Chap. VI, thm. 44.

Proposition 62 Soit n = 2^{α}p_{1}^{α_{1}} ⋯ p_{s}^{α_{s}}. Alors,

(Z/nZ)^{×} ≃ \{ \begin{matrix}C_{2^{α−1}} × C_{(p_{1}−1)p_{1}^{α_{1}−1}} × ⋯ C_{(p_{s}−1)p_{s}^{αs−1}} & si α ≤ 2 \\ C_{2} × C_{2^{α−2}} × C_{(p_{1}−1)p_{1}^{α_{1}−1}} × ⋯ × C_{(p_{s}−1)p_{s}^{αs−1}} & si α > 2, \end{matrix}

où C_{a} dénote le groupe cyclique d’ordre a.

Par la combinaison de ces deux propositions,

Gal(Q(ζ_{2^{a}3^{b}5^{c}})/Q) ≃ \{ \begin{matrix}C_{2^{a−1}} × C_{2·3^{b−1}} × C_{4·5^{c−1}} & si a ≤ 2 \\ C_{2} × C_{2^{a−2}} × C_{2·3^{b−1}} × C_{4·5^{c−1}} & si a > 2. \end{matrix}

Puisque l’opération de groupe sur F_{5}^{×} est d’ordre 4 et que ψ est un homomorphisme, le groupe Gal(Q(ζ_{2^{a}3^{b}5^{c}})/Q) ne peut contenir d’élément d’ordre 3 et 5; donc b = c = 1. De plus, on peut prendre a = 4 car le groupe multiplicatif défini sur F_{5}^{×} est isomorphe à C_{4} et tout homomorphisme de C_{2^{a}} (a > 2) dans C_{4} se factorise à travers un homomorphisme de C_{4} dans C_{4}.

Pour connaître le nombre de possibilités d’homomorphismes ψ_{1} et ψ_{2}, on est donc amené à compter le nombre d’homomorphismes

ψ : Gal(Q(ζ_{240})/Q) ⟶ C_{4}.

Puisque la groupe de Galois Gal(Q(ζ_{240})/Q) est isomorphe à C_{4} × C_{4} × C_{2} × C_{2}, par la proposition 62, on compte 64 possibilités pour l’homomorphisme ψ.

Calcul de N_{tot. réd.}: Lorsque la représentation ρ est totalement réductible, c(σ) = 0 pour tout σ ∈ Gal(\overline{Q}/Q). La représentation ρ s’écrit donc

ρ : σ ⟼ ( \begin{matrix}ψ_{1}(σ) & 0 \\ 0 & ψ_{2}(σ) \end{matrix} )

pour tout σ ∈ Gal(\overline{Q}/Q). Les repésentations considérées sont cependant définies seulement à conjugaison près. Puisque que les matrices

( \begin{matrix}ψ_{1}(σ) & 0 \\ 0 & ψ_{2}(σ) \end{matrix} )  et  ( \begin{matrix}ψ_{2}(σ) & 0 \\ 0 & ψ_{1}(σ) \end{matrix} )

sont conjuguées et que ψ_{1} ≠ ψ_{2} (sinon la surjectivité de χ_{5} serait altérée), on a

N_{tot. réd.} = 32.

Calcul de N_{triang.}: On fixe maintenant l’homomorphisme ψ_{1} ou de façon équivalente l’homomorphisme ψ. La fonction

\frac{c}{ψ_{1}} : Gal(\overline{Q}/Q) ⟶ F_{5}

satisfait

\frac{c}{ψ_{1}} (στ) = \frac{c}{ψ_{1}} (σ) · ψ(τ) + \frac{c}{ψ_{1}} (τ).

Dénotons toujours par K, le corps découpé par l’homomorphisme

ψ : Gal(\overline{Q}/Q) ⟶ F_{5}^{×}.

La fonction \frac{c}{ψ_{1}} restreinte à Gal(\overline{Q}/K) est maintenant un homomorphisme car si σ, τ ∈ Gal(\overline{Q}/K), alors

ψ(τ) = 1  et donc  \frac{c}{ψ_{1}} (στ) = \frac{c}{ψ_{1}} (σ) + \frac{c}{ψ_{1}} (τ).

Ainsi, pour chaque homomorphisme ψ fixé, la fonction

c : Gal(\overline{Q}/Q) ⟶ F_{5}

donne lieu à un homomorphisme

\frac{c}{ψ_{1}} : Gal(\overline{Q}/K) ⟶ F_{5}

noté \frac{c}{ψ_{1}} par abus de notation.

Soit maintenant L le corps découpé par l’homomorphisme \frac{c}{ψ_{1}} : Gal(\overline{Q}/K) → F_{5}. Le corps L est une extension abélienne de K (de degré 1 ou 5). En utilisant la théorie du corps de classes sur K, on peut calculer les extensions possibles L et estimer ainsi le nombre d’homomorphismes \frac{c}{ψ_{1}} . Ce calcul sera exécuté ultérieurement pour but de publication.

Appendice A

C(1) = 12t^{11} + 19008t^{6} − 248832t,

C(2) = t^{12} − 12t^{11} + 132t^{10} − 880t^{9} + 1980t^{8} + 3168t^{7} − 32736t^{6} + 101376t^{5} − 245520t^{4} +

461120t^{3} − 394944t^{2} + 46848t + 150592,

C(3) = t^{12} − 55t^{9} − 165t^{6} + 275t^{3} + 25,

C(4) = t^{12} − 132t^{10} − 1320t^{9} − 5940t^{8} − 19008t^{7} − 47520t^{6} − 57024t^{5} + 71280t^{4} +

380160t^{3} + 513216t^{2} + 362880t + 191808,

C(5) = −3t^{12} − 12t^{11} + 132t^{10} + 1980t^{8} + 3168t^{7} − 3168t^{6} − 12672t^{5} + 39600t^{4} + 10560t^{3} +

61248t^{2} + 26112t − 27072,

C(6) = −6t^{12} − 12t^{11} + 12672t^{10} − 457380t^{9} + 8437770t^{8} − 98630136t^{7} + 788874768t^{6} −

4452512328t^{5} + 17822147310t^{4} − 49714538940t^{3} + 92201264496t^{2} −

102450626388t + 51726152718,

C(7) = 7t^{12} − 12t^{11} − 3696t^{10} − 64680t^{9} − 582120t^{8} − 3326400t^{7} − 13020480t^{6} −

35925120t^{5} − 69854400t^{4} − 93139200t^{3} − 79833600t^{2} − 38361600t − 7257600,

C(8) = 10t^{12} − 12t^{11} − 264t^{10} − 1540t^{9} − 990t^{8} − 3960t^{7} − 10560t^{6} + 3960t^{5} + 24750t^{4} +

47300t^{3} + 6600t^{2} + 7500t + 10150,

C(9) = 19t^{12} + 60t^{11} + 528t^{10} + 440t^{9} − 3960t^{8} − 6336t^{7} − 10560t^{6} − 12672t^{5} − 31680t^{4} −

14080t^{3} + 16896t^{2} + 7680t + 5632,

C(10) = −55t^{12} + 312t^{11} + 660t^{10} − 11000t^{9} + 49500t^{8} − 126720t^{7} + 203808t^{6} − 221760t^{5} +

198000t^{4} − 176000t^{3} + 137280t^{2} − 66432t + 11840,

C(11) = 57t^{12} − 204t^{11} − 14916t^{10} − 159555t^{9} − 902385t^{8} − 3263040t^{7} − 8103645t^{6} −

14227290t^{5} − 17728425t^{4} − 15395325t^{3} − 8881125t^{2} − 3063675t − 478650, C(12) = 185t^{12} + 144t^{11} − 2046t^{10} − 9680t^{9} − 13365t^{8} − 15840t^{7} − 20724t^{6} − 9504t^{5} +

8415t^{4} + 16720t^{3} + 6930t^{2} + 1776t + 701,

C(13) = −295t^{12} − 204t^{11} + 3630t^{10} − 5500t^{9} + 12375t^{8} − 3960t^{7} − 4092t^{6} − 3960t^{5} +

12375t^{4} − 5500t^{3} + 3630t^{2} − 204t − 295,

C(14) = 395t^{12} + 1836t^{11} + 6072t^{10} + 5720t^{9} − 11880t^{8} − 31680t^{7} − 40128t^{6} − 38016t^{5} −

31680t^{4} − 14080t^{3} + 1536t + 512,

C(15) = −423t^{12} − 816t^{11} + 3828t^{10} − 1320t^{9} + 9900t^{8} + 6336t^{7} − 3168t^{6} − 6336t^{5} +

7920t^{4} + 2112t^{2} + 384t − 192,

C(16) = −3t^{11} + 297t^{6} + 243t,

C(17) = 701t^{12} − 1776t^{11} + 6930t^{10} − 16720t^{9} + 8415t^{8} + 9504t^{7} − 20724t^{6} + 15840t^{5} −

13365t^{4} + 9680t^{3} − 2046t^{2} − 144t + 185,

C(18) = 710t^{12} − 1116t^{11} + 5808t^{10} − 11220t^{9} − 2970t^{8} + 11880t^{7} − 14256t^{6} + 7128t^{5} −

8910t^{4} + 5940t^{3} − 324t + 162,

C(19) = 1657t^{12} + 804t^{11} − 9834t^{10} − 31020t^{9} − 31185t^{8} − 26136t^{7} − 22572t^{6} − 7128t^{5} +

4455t^{4} + 5940t^{3} + 1782t^{2} + 324t + 81,

C(20) = 25t^{12} − 4950t^{10} + 57200t^{9} − 334125t^{8} + 1235520t^{7} − 3129060t^{6} + 5559840t^{5} −

6826545t^{4} + 5445440t^{3} − 2411046t^{2} + 305136t + 107749,

C(21) = 64t^{12} − 2112t^{10} + 10560t^{9} − 23760t^{8} + 38016t^{7} − 47520t^{6} + 28512t^{5} + 17820t^{4} −

47520t^{3} + 32076t^{2} − 11340t + 2997,

C(22) = 64t^{12} + 384t^{11} + 2112t^{10} + 7040t^{9} + 7920t^{8} − 6336t^{7} − 32736t^{6} − 50688t^{5} −

61380t^{4} − 57640t^{3} − 24684t^{2} − 1464t + 2353,

C(23) = 12(256t^{11} − 1584t^{6} − 81t),

C(24) = 125t^{12} + 1650t^{10} − 7425t^{8} − 5940t^{6} − 13365t^{4} + 5346t^{2} + 729.

Appendice B

α_{0} = 1,

α_{1} = 1,

α_{2} = 1 − J,

α_{3} = 1 − 3J − 2J^{2},

α_{4} = 1 − 6J − (139J^{2} + 48J^{3})/17,

α_{5} = 1 − 10J − (355J^{2} + 272J^{3} + 36J^{4})/17,

α_{6} = 1 − 15J − (725J^{2} + 957J^{3} + 256J^{4})/17,

α_{7} = 1 − 21J − (1295J^{2} + 2667J^{3} + 1294J^{4} − 156J^{5})/17,

α_{8} = 1 − 28J − (2114J^{2} + 6412J^{3} + 5335J^{4} − 832J^{5} − 432J^{6})/17,

α_{9} = 1 − 36J − (3234J^{2} + 13860J^{3} + 18399J^{4} − 1440J^{5} − 3320J^{6} − 864J^{7})/17,

α_{10} = 1 − 45J − (51810J^{2} + 303534J^{3} + 599577J^{4} + 37395J^{5} − 114352J^{6} − 109872J^{7} −

10368J^{8})/187,

α_{11} = 1−55J−(6600J^{2}+51414J^{3}+142527J^{4}+30795J^{5}−7622J^{6}−48952J^{7}−19008J^{8})/17,

α_{12} = 1 − 66J − (8965J^{2} + 90684J^{3} + 336633J^{4} + 116658J^{5} + 84163J^{6} − 148080J^{7} −

117776J^{8} − 24192J^{9})/17,

α_{13} = 1 − 78J − (11869J^{2} + 152724J^{3} + 731445J^{4} + 313326J^{5} + 533299J^{6} − 274416J^{7} −

559508J^{8} − 35232J^{9} − 108864J^{10})/17,

α_{14} = 1 − 91J − (15379J^{2} + 247247J^{3} + 1483053J^{4} + 657345J^{5} + 2089633J^{6} +

174677J^{7} − 3066512J^{8} + 1027280J^{9} − 585216J^{10} − 373248J^{11})/17,

α_{15} = 1 − 105J − (19565J^{2} + 386841J^{3} + 2837263J^{4} + 1071135J^{5} + 6664879J^{6} +

5206179J^{7} − 16810714J^{8} + 5968812J^{9} + 3457408J^{10} − 4435776J^{11} − 746496J^{12})/17,

α_{16} = 1 − 120J − (24500J^{2} + 587496J^{3} + 5166538J^{4} + 1140360J^{5} + 18887284J^{6} +

34450584J^{7} − 75167809J^{8} + 492672J^{9} + 50776288J^{10} − 11536896J^{11} −

17024256J^{12})/17,

α_{17} = 1 − 136J − 1780J^{2} − 51128J^{3} − 530426J^{4} + 18824J^{5} − 2913092J^{6} − 9751240J^{7} +

15122369J^{8} + 9456832J^{9} − 13418768J^{10} − 10084288J^{11} + 10920960J^{12} + 248832J^{13},

α_{18} = 1 − 153J − 2172J^{2} − 73908J^{3} − 892290J^{4} + 354978J^{5} − 7213804J^{6} −

38920356J^{7} + 37171977J^{8} + 60303087J^{9} + 16401120J^{10} − 170087328J^{11} +

107379712J^{12} − 9504000J^{13} + 2985984J^{14},

α_{19} = 1 − 171J − 2622J^{2} − 104652J^{3} − 1453386J^{4} + 1267110J^{5} − 17046952J^{6} −

135295884J^{7} + 46284513J^{8} + 174262509J^{9} + 683618766J^{10} − 1401592464J^{11} +

584002432J^{12} + 150976512J^{13} − 125203968J^{14} + 35831808J^{15},

α_{20} = 1 − 190J − 3135J^{2} − 145464J^{3} − 2300862J^{4} + 3364140J^{5} − 38641174J^{6} −

421126184J^{7} − 124394691J^{8} − 171099294J^{9} + 5923508469J^{10} − 8685664368J^{11} +

3654839008J^{12} −1176272128J^{13} +2234836224J^{14} −1636319232J^{15} +429981696J^{16},

β_{0} = 1,

β_{1} = 2,

β_{2} = 3 + J,

β_{3} = 4 + (19J + 9J^{2})/7,

β_{4} = 5 + (34J + 35J^{2} + 8J^{3})/7,

β_{5} = 6 + 2(325J + 583J^{2} + 251J^{3} + 24J^{4})/91,

β_{6} = 7 + (845J + 2511J^{2} + 1751J^{3} + 80J^{4})/91,

β_{7} = 8 + (143J + 703J^{2} + 777J^{3} + 29J^{4} − 92J^{5})/13,

β_{8} = 9 + (156J + 1294J^{2} + 2188J^{3} + 373J^{4} − 656J^{5} − 144J^{6})/13, β_{9} = 10 + 2(858J + 12474J^{2} + 30624J^{3} + 13371J^{4} − 13218J^{5} − 7352J^{6} − 864J^{7})/143,

β_{10} = 11 + (10725J + 293502J^{2} + 991914J^{3} + 795711J^{4} − 418767J^{5} − 507056J^{6} −

145104J^{7} − 6912J^{8})/1001,

β_{11} = 12 + (715J + 43197J^{2} + 191862J^{3} + 238350J^{4} − 38937J^{5} − 154575J^{6} − 85688J^{7} −

9648J^{8})/91,

β_{12} = 13 + (286J + 67617J^{2} + 380028J^{3} + 662241J^{4} + 107310J^{5} − 371057J^{6} −

392744J^{7} − 82128J^{8})/91,

β_{13} = 14 − 2(13J − 3949J^{2} − 27247J^{3} − 62547J^{4} − 29529J^{5} + 21233J^{6} + 54379J^{7} +

18752J^{8} + 272J^{9})/7,

β_{14} = 15 − 13J + 1667J^{2} + 13783J^{3} + 39933J^{4} + 30969J^{5} + 2289J^{6} − 46099J^{7} −

25792J^{8} + 16J^{9} − 384J^{10},

β_{15} = 16 − 25J + 2403J^{2} + 23351J^{3} + 82799J^{4} + 89049J^{5} + 56857J^{6} − 113347J^{7} −

108843J^{8} + 2636J^{9} − 400J^{10} − 1728J^{11},

β_{16} = 17 − 40J + 3388J^{2} + 38088J^{3} + 161510J^{4} + 221704J^{5} + 261980J^{6} − 217864J^{7} −

413231J^{8} + 8160J^{9} + 13856J^{10} − 5120J^{11} − 6912J^{12},

β_{17} = 18−2(204J−16388J^{2}−210392J^{3}−1047914J^{4}−1746512J^{5}−3098964J^{6}+827832J^{7}+

4966321J^{8} + 76324J^{9} − 221744J^{10} − 208640J^{11} + 138240J^{12} + 82944J^{13})/7,

β_{18} = 19 − (7293J − 578340J^{2} − 8387868J^{3} − 48371358J^{4} − 94627338J^{5} −

232655540J^{6} − 39750828J^{7} + 403291863J^{8} + 21122997J^{9} + 4631136J^{10} −

39873120J^{11} − 15169792J^{12} + 20535552J^{13} + 5971968J^{14})/91,

β_{19} = 20 − (9633J − 772293J^{2} − 12538860J^{3} − 82740972J^{4} − 185352258J^{5} −

605974486J^{6} − 355084236J^{7} + 1160500848J^{8} + 62864553J^{9} + 135215763J^{10} −

49421136J^{11} − 223421024J^{12} + 8802816J^{13} + 88259328J^{14} + 11943936J^{15})/91,

β_{20} = 21 − (135850J − 11177529J^{2} − 201583008J^{3} − 1507200042J^{4} − 3793336548J^{5} −

16085890314J^{6} − 16289869336J^{7} + 34526209575J^{8} − 115646454J^{9} +

6254997315J^{10} + 7271447016J^{11} − 9059068128J^{12} − 9447997952J^{13} +

4309426944J^{14} + 2956621824J^{15} + 143327232J^{16})/1001, β_{21} = 22 − 2(12155J − 1036431J^{2} − 20623911J^{3} − 173266890J^{4} − 482501922J^{5} −

2609714030J^{6} − 3819754718J^{7} + 6424335879J^{8} − 713141385J^{9} + 514831629J^{10} +

3595587861J^{11} + 842148056J^{12} − 5075106016J^{13} − 771525120J^{14} +

1741181184J^{15} + 398628864J^{16})/143,

β_{22} = 23 − (2717J − 241637J^{2} − 5274533J^{3} − 49434846J^{4} − 150402366J^{5} −

1024787914J^{6} − 1990883498J^{7} + 3001464713J^{8} − 643759567J^{9} − 756531393J^{10} +

1861304607J^{11} + 3842211568J^{12} − 2807570272J^{13} − 3699388928J^{14} +

1539989248J^{15} + 733224960J^{16} + 95551488J^{17})/13,

β_{23} = 24 − (3289J − 306383J^{2} − 7298797J^{3} − 75837417J^{4} − 249391530J^{5} −

2119805718J^{6} − 5192588698J^{7} + 7733724470J^{8} − 1794609707J^{9} − 5491442763J^{10} −

914927913J^{11} + 21236689467J^{12} + 6768088108J^{13} − 29438790944J^{14} +

2230554752J^{15} + 6841353984J^{16} − 64447488J^{17} + 429981696J^{18})/13,

β_{24} = 25 − (27508J − 2691414J^{2} − 69656972J^{3} − 797964461J^{4} − 2810102280J^{5} −

29555919908J^{6} − 88134506104J^{7} + 140455145235J^{8} − 14346704572J^{9} −

142183615222J^{10} − 260123244540J^{11} + 399412791773J^{12} + 936124288336J^{13} −

946299684336J^{14} − 473425872896J^{15} + 547643666176J^{16} − 98786414592J^{17} +

21054173184J^{18} + 10319560704J^{19})/91,

β_{25} = 26 − 2(16250J − 1672790J^{2} − 46845480J^{3} − 588768145J^{4} − 2202248390J^{5} −

28462011020J^{6} − 100668298880J^{7} + 182231986895J^{8} + 33247831470J^{9} −

151971650150J^{10} − 746058724600J^{11} − 190714623295J^{12} + 3012941752670J^{13} −

514345504280J^{14} − 3596959091232J^{15} + 2435460930560J^{16} − 251308367360J^{17} −

186907392000J^{18} + 94506393600J^{19} + 10319560704J^{20})/91,

β_{26} = 27 − (2925J − 317110J^{2} − 9574210J^{3} − 131440975J^{4} − 518385385J^{5} −

8182082100J^{6} − 33639132540J^{7} + 71920859125J^{8} + 42059449675J^{9} +

4271199130J^{10} − 406685281010J^{11} − 813284452425J^{12} + 1760449216785J^{13} +

1947869739440J^{14} − 4664750038576J^{15} + 2012915893760J^{16} + 529629981440J^{17} −

550520156160J^{18} + 53527080960J^{19} + 54607675392J^{20})/7,

β_{27} = 28 − (3393J − 387585J^{2} − 12574890J^{3} − 187829730J^{4} − 775884645J^{5} −

14874579435J^{6} − 69941089620J^{7} + 180444466800J^{8} + 190496524455J^{9} + 322135166745J^{10} − 866597775210J^{11} − 5136257200890J^{12} + 2346424807005J^{13} +

21274535872755J^{14}−27633870852984J^{15}+5269341610512J^{16}+6800561464320J^{17}−

1157611621120J^{18} − 2744861644800J^{19} + 1276230463488J^{20} − 36118462464J^{21})/7,

β_{28} = 29 − 558J + 67167J^{2} + 2334780J^{3} + 37807605J^{4} + 162579870J^{5} + 3767209215J^{6} +

19990254960J^{7} − 62788004865J^{8} − 97644174930J^{9} − 275678461035J^{10} −

41617916820J^{11} + 3082666356735J^{12} + 3336703533090J^{13} − 20112039551475J^{14} +

18083589754536J^{15} − 111802681872J^{16} − 1969309527552J^{17} − 6598483313920J^{18} +

6267833026560J^{19} − 1241189609472J^{20} − 345848610816J^{21} + 61917364224J^{22},

β_{29} = 30 − 2(319J − 40455J^{2} − 1502577J^{3} − 26291835J^{4} − 117028485J^{5} −

3263140755J^{6} − 19323907125J^{7} + 73950146595J^{8} + 152153088525J^{9} +

584372990475J^{10} + 997418209005J^{11} − 4647934166985J^{12} − 17313700710615J^{13} +

51936991371855J^{14} − 37264352503815J^{15} + 11006357460336J^{16} −

40907186783280J^{17} + 70497975516672J^{18} − 48386143673600J^{19} +

16757644677120J^{20} − 5284334702592J^{21} + 2190756741120J^{22} − 371504185344J^{23}),

β_{30} = 31 − 725J + 96831J^{2} + 3833307J^{3} + 72261243J^{4} + 331155495J^{5} +

11067601035J^{6} + 72453438615J^{7} − 336492552195J^{8} − 857661126255J^{9} −

4157244533475J^{10} − 12492099396495J^{11} + 16171895675145J^{12} +

209687940471405J^{13} − 463497334953255J^{14} + 381320123560029J^{15} −

593972413014240J^{16} + 1373115281994864J^{17} − 1561862739489152J^{18} +

786960405859072J^{19} − 34688683634688J^{20} − 191303639101440J^{21} +

142267828764672J^{22} − 55354123616256J^{23} + 8916100448256J^{24}.

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