Arguments des unités de Stark et périodes de séries d’Eisenstein

Pierre Charollois^{1} Henri Darmon^{2} 25 octobre 2007

Table des matières

1 Notions préliminaires 6 1.1 Séries d’Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Extensions quadratiques et séries L associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Extensions quadratiques totalement réelles et valeurs de fonctions L 13 3 Extensions quadratiques ATR et dérivées de fonctions L 15 4 Application d’Abel-Jacobi et unités de Stark 16 5 Algorithmes 18 6 Exemples numériques 22

6.1 Corps de base Q(\sqrt{5}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.2 Corps de base Q(\sqrt{2}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Périodes de séries d’Eisenstein. 26

1charollois@math.jussieu.fr Le premier auteur a bénéficié du soutien matériel de l’Institut de Mathématiques de Bordeaux et du CRM-ISM de Montréal au cours de l’élaboration de cet article.

2darmon@math.mcgill.ca Le travail du second auteur a été financé en partie par le CRSNG et la Chaire James McGill.

Introduction

Soit K un corps de nombres, et soit

S_{∞} = {v_{1}, …, v_{t}}

l’ensemble de ses places archimédiennes. Pour simplifier les énoncés qui suivent, on supposera (dans l’introduction seulement) que le corps K a pour nombre de classes 1 au sens restreint. On choisit, pour chaque place de S_{∞}, un plongement réel ou complexe associé, que l’on désignera par le même symbole, et l’on pose (pour x appartenant à K^{×}, et v ∈ S_{∞})

s_{v}(x) := \{ \begin{matrix}signe(v(x)) ∈ \{−1, 1\} & si v est réelle; \\ 1 & si v est complexe. \end{matrix}

Soit I un idéal de l’anneau des entiers O_{K} de K, et soit O_{K,+}^{×}(I) le sous-groupe du groupe O_{K,+}^{×} des unités totalement positives de O_{K} formé des éléments qui sont congrus à 1 modulo I. Pour tout a ∈ (O_{K}/I), on associe au choix de signes s_{v_{2}}, …, s_{v_{n}} la fonction L partielle de Hurwitz :

L(a, I, s) := (NI)^{s} ∑_{x≡a (I)^{x∈O_{K} /O{× \atop K,+}(I)}} ′ s_{v_{2}}(x) ⋯ s_{v_{t}}(x)|N_{K/ℚ}(x)|^{−s},  (1)

où le symbole ∑ ′ indique que la somme est à prendre sur les éléments non-nuls. Ces fonctions

L jouissent des propriétés suivantes :

1. La fonction L(a, I, s) ne dépend que de l’image de a dans le quotient (O_{K}/I)/O_{K,+}^{×},

sur lequel opère le groupe

G_{I} := (O_{K}/I)^{×}/O_{K,+}^{×}.  (2)

Plus généralement, pour toute unité ϵ ∈ O_{K}^{×}, on a

L(ϵa, I, s) = s_{v_{2}}(ϵ) ⋯ s_{v_{t}}(ϵ)L(a, I, s).

2. La série qui définit L(a, I, s) converge absolument sur le demi-plan Re(s) > 1, et admet un prolongement méromorphe à tout le plan complexe avec au plus un pôle simple en s = 1. Si t ≥ 2, cette fonction est même holomorphe, et s’annule en s = 0.

Pour toute place réelle v ∈ S_{∞}, il existe alors une unité ϵ_{v} ∈ O_{K}^{×} telle que

s_{v}(ϵ_{v}) = −1, s_{v′}(ϵ_{v}) = 1 pour tout v′ ≠ v.

De plus, la théorie du corps de classes identifie le groupe G_{I} avec le groupe de Galois d’une extension abélienne H de K, appelée le corps de classes de rayon au sens restreint associé à I. Soit

rec : G_{I}⟶Gal(H/K)

l’isomorphisme de réciprocité de la théorie du corps de classes, et pour tout v ∈ S_{∞}, soit c_{v} la conjugaison complexe (“élément de Frobenius”) associée à la place v, de sorte que

c_{v} = \{ \begin{matrix}rec(ϵ_{v}) & si v est réelle, \\ 1 & si v est complexe. \end{matrix}

On note e l’ordre du groupe des racines de l’unité dans H et l’on choisit une place ṽ_{1} de H au-dessus de la place v_{1}.

La conjecture de Stark [St], [Ta], concerne les dérivées premières de L(a, I, s) en s = 0, et peut s’énoncer comme suit :

Conjecture 1 (Stark). Pour tout a ∈ (O_{K}/I), il existe une unité u_{a} ∈ O_{H}^{×}, appelée unité de Stark associée au couple (a, I), telle que

1. L′(a, I, 0) = \frac{1}{e} log |ṽ_{1}(u_{a})|^{2} ;

2. c_{v_{1}}(u_{a}) = u_{a};

3. Si t ≥ 3, alors c_{v_{2}}u_{a} = ⋯ = c_{v_{t}}u_{a} = u_{a}^{−1} ;

4. Pour tout b ∈ G_{I}, on a u_{ab} = rec(b)^{−1}u_{a}.

On notera que les unités conjecturales u_{a} dépendent du choix de la place ṽ_{1} au-dessus de v_{1}, mais seulement à conjugaison près par Gal(H/K).

Si S_{∞} − {v_{1}} possède une place complexe, la Conjecture 1 est trivialement vérifiée. En effet, quand t = 2, la quantité L′(a, I, 0) ne dépend que de I et non de a, et s’écrit comme un multiple rationnel du logarithme d’une unité fondamentale de K. Quand t > 2, on a de plus L′(a, I, 0) = 0, de sorte que la Conjecture 1 est vérifiée avec u_{a} = 1.

Par conséquent, la Conjecture 1 n’a de l’intérêt que lorsque les places v_{2}, …, v_{t} sont toutes réelles, ce qui nous amène à distinguer deux cas.

1. Le cas totalement réel. Si la place v_{1} est également réelle, le corps K est totalement réel. A cause de la propriété 2 dans la Conjecture 1, l’expression ṽ_{1}(u_{a}) appartient alors à R. La Conjecture 1 permet donc d’évaluer ce nombre, du moins au signe près. On obtient ainsi, par évaluation des dérivées en s = 0 des séries L(a, I, s), la construction analytique d’unités explicites de H. Les conjectures de Stark, une fois démontrées, fourniraient ainsi un élément de “théorie explicite du corps de classes” pour les corps de nombres totalement réels.

2. Le cas ATR. Si v_{1} est une place complexe, on dit que K est un corps de nombres ATR (“Almost Totally Real”) suivant la terminologie de [DL]. Puisque c_{v_{1}} = 1, l’expression ṽ_{1}(u_{a}) n’a plus de raison d’être réelle a priori, et la Conjecture 1 ne permet d’en évaluer que la valeur absolue. L’ambiguïté de signe du cas totalement réel s’avère donc plus sérieuse dans le contexte ATR, puisqu’elle porte sur l’argument de ṽ_{1}(u_{a}), un élément de R/(2πZ). On est amené à poser la question suivante qui peut servir de motivation pour cet article.

Question 1. Existe-t-il une formule analytique explicite pour l’expression ṽ_{1}(u_{a}) qui apparaît dans la Conjecture 1, lorsque K est ATR ?

Une réponse affirmative à cette question fournirait une solution du 12-ème problème de Hilbert pour les extensions ATR.

Dans le premier cas intéressant où K est un corps cubique complexe, cette question a été considérée dans [Das] et dans [DTvW] où la conjecture de Stark est étudiée numériquement, et un progrès décisif a été accompli dans [RS].

Le présent article se penche sur la Question 1 lorsque le corps K est une extension quadratique d’un corps totalement réel F, et lorsque le corps de rayon H est remplacé par un certain sous-corps—le corps de classes d’anneau (“ring class field”) associé à I et K/F — dont la définition sera rappelée dans la Section 1.

Pour motiver notre approche, examinons ce qui se passe dans le cas le plus simple où F = Q, où K est un corps quadratique imaginaire de nombre de classes 1, et où I = (m) est un idéal rationnel engendré par m ∈ Z. Au lieu de porter sur les séries partielles de Hurwitz, les conjectures de cet article vont plutôt porter sur les sommes

∑_{r∈(Z/mZ)} L(ar, I, s) =: L(M, s) = (NM)^{s} ∑_{x∈M/O_{K,+}^{×}(I)} ′ |N_{K/ℚ}(x)|^{−s},  (3)

où

M = {x ∈ O_{K}, tel qu’il existe r ∈ Z avec x ≡ ar (mod I)}.

Le module M est un réseau dans K ⊂ C, et, quand a appartient à G_{I}, il forme même un module projectif sur l’ordre O_{I} := Z + IO_{K}. La série L(M, s) ne dépend que de la classe d’homothétie de ce réseau ; elle est donc déterminée par l’invariant τ = \frac{ω_{2}}{ω_{1}} , où (ω_{1}, ω_{2}) est une Z-base de M choisie de telle manière que τ appartienne au demi-plan de Poincaré H. La formule limite de Kronecker fournit les premiers termes du développement de L(M, s) en s = 0 en la reliant au logarithme de la fonction η de Dedekind :

L(M, s) = −\frac{1}{2} − \frac{1}{2} (c_{I} + log Im (τ) + 4 log |η(τ)|) s + O(s^{2}),  (4)

où c_{I} est une constante qui ne dépend que de I et pas de M. À des facteurs parasites près, les dérivées premières L′(M, 0) sont donc fournies par l’expression log |η(τ)|. Or, comme τ appartient à H ∩ K, les produits d’expressions de la forme η(τ) donnent lieu aux unités elliptiques, que l’on sait être des unités dans des extensions abéliennes du corps K grâce à la théorie de la multiplication complexe. Plus précisément, pour τ_{1}, τ_{2} ∈ H ∩ K, les expressions de la forme

u(τ_{1}, τ_{2}) := η(τ_{2})/η(τ_{1})  (5)

sont des nombres algébriques, et leurs puissances 24-èmes sont des unités dans des extensions abéliennes de K. C’est ainsi que les propriétés de la fonction η et la théorie de la multiplication complexe permettent non seulement de démontrer la conjecture de Stark dans le cas où K est quadratique imaginaire, mais apportent aussi une réponse à la Question 1 dans ce cas.

Dans la généralisation “traditionnelle” de la théorie de la multiplication complexe proposée par Hilbert et son école, puis développée rigoureusement par Shimura et Taniyama, on est amené à remplacer Q par un corps F totalement réel de degré n > 1 (de sorte que F ⊗_{Q} R = R^{n}), et les formes modulaires classiques par des formes modulaires de Hilbert. Celles-ci correspondent à des fonctions holomorphes sur H^{n}, invariantes (à un facteur d’automorphie près) sous l’action naturelle de SL_{2}(O_{F}). Les corps quadratiques imaginaires sont remplacés par des extensions quadratiques K de F de type CM, munies d’une identification Φ : K ⊗_{F} R^{n} → C^{n}. La théorie de la multiplication complexe affirme alors que les valeurs de certaines fonctions modulaires de Hilbert (quotients de formes modulaires de même poids, possédant des développements de Fourier rationnels) en des points τ ∈ Φ(K)∩H^{n} engendrent des extensions abéliennes du corps reflex K̃ associé à (K, Φ). Cette théorie possède deux inconvénients du point de vue de la Question 1 :

(a) elle ne permet d’aborder la “théorie du corps de classes explicite” que pour les corps de base de type CM ;

(b) elle ne permet pas d’obtenir facilement des unités dans des extensions abéliennes de K̃, les unités modulaires n’ayant pas de généralisation évidente pour les formes modulaires de Hilbert. En effet, quand n > 1, le faisceau structural sur l’espace complexe analytique X := SL_{2}(O_{F})\H^{n} ne possède pas de sections globales non-nulles. La relation entre la théorie de Shimura-Taniyama et les conjectures de Stark pour les corps CM (à supposer qu’il y en ait une) reste donc à élucider. (Cf. par exemple [dSG] et [GL].)

Pour aborder la Question 1 lorsque K est une extension quadratique ATR d’un corps F totalement réel de degré n > 1, il faut relever le nombre réel log |ṽ_{1}(u_{a})| en un nombre complexe log ṽ_{1}(u_{a}) ∈ C/2iπZ. Au vu de la formule limite de Kronecker (4) et de la discussion précédente, il s’agit donc de généraliser l’expression

log η(τ) = log |η(τ)| + i arg η(τ) ∈ C/2iπZ

à un cadre où les formes modulaires classiques sont remplacées par des formes modulaires de Hilbert sur F. C’est ce qui a été entrepris dans la thèse du premier auteur, qui part de l’identité classique d log η(z) = −iπE_{2}(z)dz, où E_{2} est la série d’Eisenstein définie par

E_{2}(z) = −\frac{1}{12} + 2 ∑_{n≥1} σ_{1}(n)e^{2iπnz}, avec σ_{1}(n) = ∑_{d|n} d.

La formule (5) peut donc se réécrire en prenant le logarithme complexe des deux côtés :

log(u(τ_{1}, τ_{2})) = −iπ ∫_{τ_{1}}^{τ_{2}} E_{2}(z)dz ∈ C/2iπZ.  (6)

Or, si les unités modulaires n’admettent pas d’analogue évident en dimension supérieure, les séries d’Eisenstein, elles, se généralisent sans difficulté à ce contexte. La section 1.1 rappelle la définition de la série d’Eisenstein E_{2} de poids (2, …, 2) sur SL_{2}(O_{F}). Celle-ci donne lieu à une n-forme différentielle ω_{E_{2}} holomorphe sur l’espace analytique X.

La démarche suggérée par [Ch1] consiste essentiellement à remplacer les valeurs de log η(τ) par des intégrales de ω_{E_{2}} sur des cycles appropriés de dimension réelle n sur X. Plus précisément, le présent article associe à tout τ ∈ H ∩ v_{1}(K) un cycle fermé Δ_{τ} de dimension réelle (n − 1) sur X. En faisant abstraction pour le moment des phénomènes liés à la présence possible de torsion dans la cohomologie de X, on démontre que ces cycles sont homologues à zéro. Autrement dit, il existe une chaîne différentiable C_{τ} de dimension n sur X telle que

∂C_{τ} = Δ_{τ}.

Cela permet de définir un invariant canonique J_{τ} ∈ C/2iπZ en intégrant un multiple approprié de ω_{E_{2}} sur C_{τ}. La contribution la plus importante de cet article est la Conjecture 4.1, qui relie les invariants J_{τ} à l’expression log ṽ_{1}(u_{a}) dont la partie réelle apparaît dans la Conjecture 1. La Conjecture 4.1 apporte ainsi un élément de réponse à la Question 1.

La définition des invariants J_{τ} s’appuie de façon essentielle sur la thèse du premier auteur [Ch1]. Elle est aussi à rapprocher de deux autres travaux antérieurs :

1. L’article [DL], où les séries d’Eisenstein sur GL_{2}(F) du présent article sont remplacées par des formes modulaires de Hilbert cuspidales de poids (2, …, 2). Dans les cas les plus concrets qui ont pu être testés numériquement, ces formes sont associées à des courbes elliptiques définies sur F. L’invariant J_{τ} défini dans ce contexte semble alors permettre la construction de points sur ces courbes définis sur certaines extensions abéliennes de K.

2. L’article [DD] peut être lu comme une variante p-adique des constructions principales du présent article. Dans le contexte de [DD], on a F = Q et le rôle de la place v_{1} est joué par une place non-archimédienne p. L’extension K est alors un corps quadratique réel dans lequel le nombre premier p est inerte. Les séries d’Eisenstein de poids 2 sur certains sous-groupes de congruence de SL_{2}(Z), réinterprétées convenablement comme des “formes modulaires de Hilbert” sur H_{p} × H, où H_{p} = P_{1}(C_{p}) − P_{1}(Q_{p}) est le demi-plan p-adique, donnent alors lieu à des invariants p-adiques J_{τ} ∈ C_{p} associés à τ ∈ H_{p} ∩ K. Ces invariants correspondent conjecturalement à des p-unités dans des extensions abéliennes de K.

En se plaçant dans un cadre classique où l’on dispose de notions topologiques et analytiques générales (homologie et cohomologie singulière, théorie de Hodge), le présent article mène à une clarification conceptuelle des différentes constructions de “points et unités de Stark-Heegner” proposées jusqu’à présent dans la littérature. (Cf. [DL] et [DD], ainsi que le cadre traité originalement dans [Dar2] ou les généralisations formulées dans [Tr] et [Gr].) Le présent article peut très bien servir d’introduction aux travaux sur les points de Stark-Heegner cités en référence, bien qu’il ait été rédigé après ceux-ci.

Remerciements : Le premier auteur tient à remercier chaleureusement Philippe Cassou-Noguès et Martin Taylor qui sont à l’origine de son travail de thèse. Les deux auteurs ont aussi bénéficié de nombreux échanges avec Samit Dasgupta au sujet du présent article.

1 Notions préliminaires

1.1 Séries d’Eisenstein

Soit F un corps totalement réel de degré n > 1 et S_{F} := {v_{1}, …, v_{n}} son ensemble de places archimédiennes. On désigne par O_{F} l’anneau des entiers de F, par d_{F} son discriminant, et par R_{F} le régulateur de F.

On supposera dans la suite de cet article que F a nombre de classes 1 au sens restreint, de sorte qu’il existe pour tout 1 ≤ j ≤ n une unité ϵ^{(j)} ∈ O_{F}^{×} avec

v_{j}(ϵ^{(j)}) < 0, v_{k}(ϵ^{(j)}) > 0 si k ≠ j.

Pour tout a ∈ F, on note a_{j} := v_{j}(a) son image dans R par le plongement v_{j}, et A_{j} =

( \begin{matrix}a_{j} & b_{j} \\ c_{j} & d_{j} \end{matrix} ) l’image dans SL_{2}(R) d’une matrice A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) de SL_{2}(F). On identifiera

librement a avec le n-uplet (a_{1}, …, a_{n}) et A avec (A_{1}, …, A_{n}). On obtient ainsi une action par homographies du groupe modulaire de Hilbert Γ := SL_{2}(O_{F}) sur le produit H_{1}×⋯×H_{n} de n copies du demi-plan de Poincaré. Le quotient analytique

X := Γ\(H_{1} × ⋯ × H_{n})

s’identifie avec les points complexes d’un ouvert de Zariski d’une variété algébrique projective lisse : la variété modulaire de Hilbert X_{F} associée au corps F.

Une forme modulaire de Hilbert de poids (2, …, 2) pour Γ est une fonction holomorphe f(z_{1}, …, z_{n}) sur H_{1} × ⋯ × H_{n} telle que la forme différentielle

ω_{f} := f(z_{1}, … z_{n}) dz_{1} ∧ ⋯ ∧ dz_{n}

soit invariante sous l’action de Γ. Autrement dit, pour tout ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ, on exige que

f (\frac{a_{1}z_{1} + b_{1}}{c_{1}z_{1} + d_{1}} , …, \frac{a_{n}z_{n} + b_{n}}{c_{n}z_{n} + d_{n}} ) = (c_{1}z_{1} + d_{1})^{2} ⋯ (c_{n}z_{n} + d_{n})^{2}f(z_{1}, …, z_{n}).

Lorsque n > 1, une telle fonction possède, d’après le principe de Koecher, un développement en série de Fourier à l’infini de la forme

f(z_{1}, …, z_{n}) = a_{f}(0) + ∑_{μ∈O_{F}, μ≫0}a_{f}(μ) e^{2iπ(\frac{μ_{1}}{δ_{1}} z_{1}+···+ \frac{μn}{δn} z_{n})},

où δ désigne un générateur totalement positif de la différente de F/Q.

La série d’Eisenstein holomorphe E_{2} de poids 2 se définit sur H_{1} × ⋯ × H_{n} par le développement en série de Fourier suivant :

E_{2}(z_{1}, …, z_{n}) = ζ_{F} (−1) + 2^{n} ∑_{μ∈O_{F}, μ≫0}σ_{1}(μ) e^{2iπ(\frac{μ_{1}}{δ_{1}} z_{1}+···+ \frac{μn}{δn} z_{n})},  (7)

où, pour un entier k donné, on a posé

σ_{k}(μ) = ∑_{(ν)|(μ)} |N_{F/ℚ}(ν)|^{k},

la sommation portant sur les idéaux (principaux) entiers (ν) qui divisent (μ). La fonction E_{2}(z_{1}, …, z_{n}) est une forme modulaire de Hilbert de poids (2, …, 2) pour Γ (voir [VdG], chap. I.6).

On se donne des coordonnées réelles x_{j}, y_{j} sur X en posant z_{j} = x_{j} + iy_{j}, et l’on définit à partir de E_{2} une forme différentielle invariante ω_{Eis} en posant

ω_{Eis} := \{ \begin{matrix}\frac{(2iπ)^{2}}{\sqrt{d_{F}}} ω_{E_{2}} + \frac{R_{F}}{2} (\frac{dz_{1}∧dz̄_{1}}{y_{1}^{2}} − \frac{dz_{2}∧dz̄_{2}}{y_{2}^{2}} ) & si n = 2, \\ \frac{(2iπ)^{n}}{\sqrt{d_{F}}} ω_{E_{2}} & si n ≥ 3. \end{matrix}  (8)

La n-forme différentielle ω_{Eis} est fermée et, quand n ≥ 3, elle est holomorphe. On va s’intéresser à sa classe dans la cohomologie H^{n}(X , C) formée à partir du complexe de de-Rham des formes différentielles C^{∞} sur X. Ce groupe de cohomologie est muni d’une action des opérateurs de Hecke T_{λ}, où les λ parcourent les idéaux de O_{F}. La forme différentielle ω_{Eis} est vecteur propre pour ces opérateurs. Plus précisément, on a

T_{λ}(ω_{Eis}) = σ_{1}(λ)ω_{Eis}.

Pour tout 1 ≤ j ≤ n, on dispose également d’une involution T_{v_{j}} sur l’espace réel-analytique X associée à la place v_{j} (“opérateur de Hecke à l’infini”). Celle-ci se définit en posant

T_{v_{j}}(z_{1}, …, z_{n}) := (ϵ_{1}^{(j)}z_{1}, …, ϵ_{j}^{(j)}z̄_{j}, …, ϵ_{n}^{(j)}z_{n}).

On appelle T_{v_{j}}^{∗} l’involution sur H^{n}(X , C) qui s’en déduit par “pullback” sur les formes différentielles. Les n opérateurs T_{v_{j}}^{∗} et les opérateurs de Hecke T_{λ} engendrent une algèbre commutative T sur Z.

On aura besoin dans la suite de certaines fonctions qui joueront le rôle de “primitives” de E_{2}. On introduit pour cela la fonction h de Asai [As] définie sur H^{n} par

h(z) = \frac{4(−π)^{n}ζ_{F} (−1)}{R_{F} \sqrt{d_{F}}}y_{1} ⋯ y_{n} + \frac{4\sqrt{d_{F}}}{2^{n}R_{F}} ∑_{μ∈ O_{F}}′ σ_{−1}(μ) e^{2iπ( \frac{μ_{1}}{δ_{1}} x_{1}+| \frac{μ_{1}}{δ_{1}} |iy_{1}+...+ \frac{μn}{δn} x_{n}+|\frac{μn}{δn} |iy_{n})}. (9)

Il sera plus commode de travailler avec

h̃(z) := λ_{F} h(z), où λ_{F} := 4^{n−1}R_{F} ,

de sorte que

h̃(z) = \frac{(−4π)^{n}ζ_{F} (−1)}{\sqrt{d_{F}}}y_{1} ⋯ y_{n} + 2^{n}\sqrt{d_{F}} ∑_{μ∈ O_{F}}′ σ_{−1}(μ) e^{2iπ( \frac{μ_{1}}{δ_{1}} x_{1}+| \frac{μ_{1}}{δ_{1}} |iy_{1}+...+ \frac{μn}{δn} x_{n}+|\frac{μn}{δn} |iy_{n})}. (10)

Les fonctions h(z) et h̃(z) jouissent des propriétés suivantes :

1. Elles sont harmoniques par rapport à chacune des variables z_{j}, 1 ≤ j ≤ n;

2. Elles satisfont les formules de transformation

h(Az) = h(z) − log(|c_{1}z_{1} + d_{1}|^{2} ⋯ |c_{n}z_{n} + d_{n}|^{2}),  (11)
h̃(Az) = h̃(z) − λ_{F} log(|c_{1}z_{1} + d_{1}|^{2} ⋯ |c_{n}z_{n} + d_{n}|^{2}).  (12)

3. On a

\frac{∂^{n}h̃(z_{1}, …, z_{n})}{∂z_{1} ⋯ ∂z_{n}}dz_{1} ∧ ⋯ ∧ dz_{n} = \frac{(2iπ)^{n}}{\sqrt{d_{F}}} ω_{E_{2}},  (13)
\frac{∂^{n}h̃(z_{1}, …, z_{n})}{∂z_{1} ⋯ ∂z̄_{j} ⋯ ∂z_{n}} dz_{1} ∧ ⋯ dz̄_{j} ⋯ ∧ dz_{n} = T_{v_{j}}^{∗} (\frac{(2iπ)^{n}}{\sqrt{d_{F}}} ω_{E_{2}}) .  (14)

Toutes ces formules se vérifient par un calcul direct, sauf (11) et (12). Pour ces dernières, voir [As], Théorème 4.

Lemme 1.1. La forme (Id +T_{v_{j}}^{∗})ω_{Eis} est exacte.

Démonstration. Supposons que j = 1 pour fixer les idées et alléger les notations. À partir de la fonction h̃, on définit la (n − 1) forme différentielle sur H^{n} :

η = \frac{∂^{n−1}h̃(z_{1}, …, z_{n})}{∂z_{2} ⋯ ∂z_{n}}dz_{2} ∧ … ∧ dz_{n}.  (15)

Quand n > 2, la formule (12) montre que η est invariante sous Γ, et correspond donc à une (n − 1)-forme différentielle sur X. Parce que h̃ est harmonique, cette forme est de plus holomorphe par rapport aux variables z_{2}, …, z_{n}, d’où la formule

dη = (\frac{∂^{n}h̃}{∂z_{1} ⋯ ∂z_{n}} dz_{1} ∧ … ∧ dz_{n} + \frac{∂^{n}h̃}{∂z̄_{1}∂z_{2} ⋯ ∂z_{n}} dz̄_{1} ∧ dz_{2} … ∧ dz_{n}) .  (16)

Le lemme résulte alors de (13) et de (14) avec j = 1.

Dans le cas où n = 2, la forme η définie par (15) n’est plus Γ-invariante. En effet, si

A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ, on a

A^{∗}(η) = η − 4R_{F} \frac{c_{2}}{c_{2}z_{2} + d_{2}} dz_{2}.

Il convient alors de modifier la définition de η en (15) en posant cette fois

η′ := (\frac{∂h̃(z_{1}, z_{2})}{∂z_{2}} − \frac{2R_{F}}{iy_{2}} ) dz_{2}.  (17)

On déduit de l’identité (12) que η′ est invariante sous Γ. La formule (16) s’adapte sans difficulté à condition d’ajouter la contribution de

d (\frac{−2R_{F}}{iy_{2}} dz_{2}) = −R_{F} \frac{dz_{2} ∧ dz̄_{2}}{y_{2}^{2}} .

On obtient

(Id +T_{v_{1}}^{∗})ω_{Eis} = dη′,

puisque la forme dz_{1} ∧ dz̄_{1}/y_{1}^{2} est quant à elle dans le noyau de Id +T_{v_{1}}^{∗}. C’est ce calcul qui justifie le terme supplémentaire apparaissant dans la définition (8) de ω_{Eis} lorsque n = 2.

Pour m ≥ 0, on appelle C_{m}^{0}(X) le groupe engendré par les combinaisons linéaires formelles à coefficients dans Z des cycles différentiables fermés de dimension réelle m sur X. On définit le groupe des périodes de ω_{Eis} par

Λ_{Eis} := {∫_{C} ω_{Eis} pour C ∈ C_{n}^{0}(X)} ⊂ C.

Proposition 1.2. Le groupe Λ_{Eis} est un sous-groupe de C de rang un, commensurable avec (2iπ)^{n}Z.

Démonstration. Cette proposition se démontre en trois parties.

(a) On démontre d’abord que le groupe Λ_{Eis} est un sous-ensemble discret de C. La théorie de Harder [Hard] (cf. le Théorème 6.3, Ch. III, §7 de [Fr] avec m = n) fournit

la décomposition

H^{n}(X , C) = H_{univ}^{n}(X , C) ⊕ H_{Eis}^{n}(X , C) ⊕ H_{cusp}^{n}(X , C),  (18)

où H_{univ}^{n}(X , C) provient des formes différentielles SL_{2}(R)^{n}-invariantes, H_{Eis}^{n}(X , C) est l’espace vectoriel de dimension 1 engendré par [ω_{Eis}], et H_{cusp}^{n}(X , C) provient des formes modulaires cuspidales de poids (2, …, 2) sur X. La décomposition (18) est respectée par l’algèbre de Hecke T, et les éléments ω ∈ H_{Eis}^{n} sont caractérisés par les propriétés

T_{v_{j}}^{∗}ω = −ω, T_{λ}ω = (Nλ + 1)ω, pour tout λ ⊲ O_{F} .

Il en résulte que la projection naturelle H^{n}(X , C) → H_{Eis}^{n}(X , C) issue de (18) est décrite par un idempotent π_{Eis} ∈ T⊗Q. Soit Λ l’image naturelle de H_{n}(X , Z) dans le dual H^{n}(X , C)^{∨} := Hom(H^{n}(X , C), C) par l’application des périodes. C’est un sous-groupe discret stable pour l’action de T. On a de plus

Λ_{Eis} = ⟨ω_{Eis}, π_{Eis}(Λ)⟩,

où ⟨ , ⟩ désigne l’accouplement naturel entre H^{n}(X , C) et son dual. Or on a

π_{Eis}(Λ) ⊂ \frac{1}{t}Λ ∩ H_{Eis}^{n}(X , C)^{∨},

où t est un entier tel que tπ_{Eis} appartient à T. Par conséquent π_{Eis}(Λ) est un sous-groupe discret de H_{Eis}^{n}(X , C)^{∨}, ce qui implique que Λ_{Eis} est lui aussi discret.

(b) Le groupe Λ_{Eis} est contenu dans (2iπ)^{n}R.

En effet, le Lemme 1.1 implique que

T_{v_{1}}^{∗} ⋯ T_{v_{n}}^{∗}([ω_{Eis}]) = (−1)^{n}[ω_{Eis}].

Par ailleurs, un calcul direct montre que

T_{v_{1}}^{∗} ⋯ T_{v_{n}}^{∗}([ω_{Eis}]) = [ω̄_{Eis}].

On en déduit que [ω̄_{Eis}] = (−1)^{n}[ω_{Eis}]. Les périodes de ω_{Eis} appartiennent donc bien à (2iπ)^{n}R.

(c) Fin de la démonstration Les parties (a) et (b) montrent que Λ_{Eis} est de rang au plus un. Pour montrer qu’il est

non-trivial et déterminer sa classe de commensurabilité, il suffit de calculer une période nonnulle de ω_{Eis}. Pour cela, on fixe Y_{1}, …, Y_{n} ∈ R^{>0} et l’on considère les droites horizontales L_{j} ⊂ H_{j} formées des z_{j} dont la partie imaginaire est égale à Y_{j}. La région

R_{∞} := L_{1} × ⋯ × L_{n}

est préservée par le sous-groupe des translations Γ_{∞} ⊂ Γ. Soit D_{∞} un domaine fondamental compact pour cette action. Son image dans X est un cycle fermé de dimension n. La forme différentielle ω_{Eis} peut s’intégrer terme à terme sur D_{∞} à partir de la formule (7). Seul le terme constant dans la définition de E_{2} apporte une contribution non-nulle à l’intégrale, puisque les autres termes sont des multiples de caractères non-triviaux de R_{∞}/Γ_{∞}. Comme le volume de R_{∞}/Γ_{∞} est égal à \sqrt{d_{F}}, on en déduit que

∫_{D_{∞}} ω_{Eis} = (2iπ)^{n}ζ_{F} (−1).

Ceci achève la démonstration, puisque ζ_{F} (−1) appartient à Q^{×}.

1.2 Extensions quadratiques et séries L associées

Soit K une extension quadratique de F. Pour chaque 1 ≤ j ≤ n, la R-algèbre K ⊗_{F,v_{j}} R est isomorphe soit à C, soit à R ⊕ R. On fixe une telle identification, que l’on appelle aussi v_{j} par abus de notation. Lorsque K est un corps CM, la donnée de (v_{1}, …, v_{n}) correspond au choix d’un type CM associé à K. On sait à quel point cette donnée supplémentaire joue un rôle important dans la théorie de la multiplication complexe pour les extensions CM de F.

On munit les R-espaces vectoriels C et R ⊕ R de l’orientation standard dans laquelle une orientation positive est assignée aux bases (1, i) et ((1, 0), (0, 1)) de C et R ⊕ R respectivement. Une base de K (vu comme espace vectoriel sur F de dimension 2) est alors dite positive si ses images dans C et R ⊕ R par les plongements v_{j} sont orientées positivement. On remarque en particulier que la base (1, τ) de K sur F est positive si et seulement si :

1. On a τ′_{j} > τ_{j} pour toute place réelle v_{j} de F ;

2. La partie imaginaire de τ_{j} est strictement positive pour toute place complexe v_{j}.

Soit I un idéal de l’anneau O_{F}. On se permet de désigner par le même symbole l’idéal IO_{K} de K.

On maintiendra tout au long de cet article l’hypothèse que F a pour nombre de classes 1 au sens étroit. Par contre, il est souhaitable de ne pas avoir à faire d’hypothèse semblable sur le corps K. On généralise la définition (2) du groupe G_{I} de l’introduction, en le définissant comme un quotient approprié du groupe A_{K}^{×} des idèles de K. Pour chaque place non-archimédienne v de K, on appelle O_{v} l’anneau des entiers du corps local K_{v}, et l’on pose

G_{I} := A_{K}^{×}/(∏_{v} U_{v})K^{×},

avec

U_{v} = \{ \begin{matrix}R_{>0}^{×} & si v est réelle; \\ C^{×} & si v est complexe; \\ O_{v}^{×} & si v ∤ I; \\ 1 + IO_{v} & si v|I. \end{matrix}

Comme dans l’introduction, la loi de réciprocité du corps de classes donne un isomorphisme rec : G_{I}⟶Gal(H/K), où H est le corps de classes de rayon de K au sens restreint associé à I.

Le sous-corps F permet d’introduire un sous-groupe G_{I}^{+} ⊂ G_{I}, défini comme l’image naturelle dans G_{I} du groupe A_{F}^{×}. Le sous-corps H_{I} de H fixé par rec(G_{I}^{+}) s’appelle le corps de classes d’anneau associé à I et K/F. On a donc l’isomorphisme de réciprocité

rec : G_{I}⟶Gal(H_{I}/K), où G_{I} := A_{K}^{×}/(A_{F}^{×} ∏_{v} U_{v}K^{×}).

Un O_{F} -ordre de K est un sous-anneau de K qui contient O_{F} et qui est localement libre de rang 2 sur O_{F} (donc libre, puisque h(F) = 1). On désigne par O_{I} := O_{F} + IO_{K} l’ordre de K de conducteur I, et l’on appelle

Ô_{I} = ∏_{v∤∞}O_{I} ⊗ O_{F,v}

son adélisation. On a alors

G_{I} = A_{K}^{×}/(Ô_{I}^{×} ∏_{v|∞} U_{v}K^{×}).

Ce quotient est en bijection naturelle avec le groupe Pic^{+}(O_{I}) des modules projectifs de rang 1 sur O_{I} dans K, modulo l’équivalence au sens restreint. (Deux modules projectifs M_{1} et M_{2} sur O_{I} sont dits équivalents au sens restreint s’il existe un élément totalement positif k ∈ K_{+}^{×} tel que M_{2} = kM_{1}). On associe en effet à tout α ∈ G_{I} un O_{I}-module M ⊂ K en posant

M^{α} := αÔ_{I} ∩ K.

L’application α ↦ M^{α} fournit une bijection naturelle entre G_{I} et les classes d’équivalence au sens restreint de O_{I}-modules projectifs :

G_{I} →^{∼} \{ \begin{matrix}Classes d’équivalence \\ au sens restreint \\ de O_{I}-modules projectifs \end{matrix} \} .  (19)

Soit V := O_{I,1}^{×} ⊂ O_{I}^{×} le groupe des unités de O_{I} de norme 1 sur Q. Il laisse stable le module M. On a la suite exacte

0⟶V_{1}⟶V ⟶O_{F,1}^{×},

où V_{1} désigne le sous-groupe des unités de V de norme relative 1 sur F. On note alors Ṽ le sous-groupe de V engendré par V_{1} et O_{F}^{×}, et l’on pose

δ_{I} := [V : Ṽ].

Cet indice est un diviseur de 2^{n}. On définit finalement la fonction L(M, s) associée à un O_{I}-module projectif M en posant

L(M, s) := (NM)^{s}δ_{I} ∑_{x∈M/V}′ signe(N_{K/Q}(x))|N_{K/Q}(x)|^{−s}.  (20)

Remarque 1.3. a)

Parce que signe(N_{K/Q}(x)) = 1 quand K est quadratique imaginaire, il en résulte que la définition (20) généralise l’équation (3) de l’introduction.

b) Quand K est une extension ATR de F ayant v_{1} pour unique place complexe, la fonction L(M, s) est un multiple rationnel non-nul de la somme de fonctions L partielles de Hurwitz de l’introduction. Plus précisément, si a est un générateur de O_{K}/(O_{F} , I) en tant que (O_{F} /I)-module, et que M_{a} désigne le O_{I}-module projectif

M_{a} := {x ∈ O_{K} tel qu’il existe r ∈ O_{F} avec x ≡ ra (mod I)},

alors

L(M_{a}, s) = δ_{I} ∑_{r∈(O_{F} /IO_{F})} L(ra, I, s).  (21)

Comme dans l’introduction, on vérifie que la fonction L(M, s) ne dépend que de la classe d’équivalence de M au sens restreint, puisque

L(λM, s) = signe(N_{K/Q}(λ))L(M, s).

Dans les Sections 2 et 3 qui suivent, nous allons exprimer les valeurs spéciales L(M, 0) quand K est totalement réel, et les dérivées L′(M, 0) quand K est ATR, en fonction de périodes appropriées de la forme différentielle ω_{Eis}.

2 Extensions quadratiques totalement réelles et valeurs de fonctions L

On supposera dans cette section que l’extension quadratique K de F est totalement réelle. On veut rappeler un théorème qui apparaît dans la thèse du premier auteur et qui donne une formule explicite pour L(M, 0) dans ce cas.

L’hypothèse que F a nombre de classes 1 au sens restreint implique que le module M est libre de rang 2 comme module sur O_{F}, et qu’il existe une O_{F} -base (ω_{1}, ω_{2}) de M. On suppose que cette base est choisie de sorte que (1, ω_{2}/ω_{1}) soit orientée positivement. L’invariant τ := ω_{2}/ω_{1} appartient à K^{×}, et il ne dépend que de la classe d’équivalence de M au sens restreint, à l’action de Γ près. Le groupe Γ_{τ} ⊂ Γ formé des matrices qui fixent τ est un groupe de rang n (modulo torsion), que l’application

A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ↦ cτ + d

identifie avec le sous-groupe V_{1} des unités de V de norme relative 1 sur F. Pour chaque 1 ≤ j ≤ n, on pose

(τ_{j}, τ′_{j}) := v_{j}(τ) ∈ R × R,

et l’on appelle Υ_{j} la géodésique hyperbolique sur H_{j} joignant τ′_{j} à τ_{j}, orientée dans le sens allant de τ′_{j} à τ_{j}. Le produit

R_{τ} = Υ_{1} × Υ_{2} × ⋯ × Υ_{n} ⊂ H^{n}

est un espace contractile homéomorphe à R^{n}. On le munit de l’orientation naturelle héritée des Υ_{j}. Le groupe Γ_{τ} opère sur R_{τ} par transformations de Möbius, et le quotient Γ_{τ}\R_{τ} est compact, isomorphe à un tore réel de dimension n. Soit Δ_{τ} un domaine fondamental pour l’action de Γ_{τ} sur R_{τ}. On identifie Δ_{τ} avec son image dans X, qui est un cycle fermé dans ce quotient.

Théorème 2.1. Pour tout O_{I}-module projectif M dans K, on a :

(−2)^{n} ∫_{Δ_{τ}} ω_{Eis} = (2iπ)^{n}L(M, 0).  (22)

Démonstration. C’est une conséquence du corollaire 7.2 qui est démontré dans la dernière partie de cet article. Puisque K est une extension quadratique totalement réelle de F, on choisit r = n ≥ 2 et c = 0 dans la formule (45). Elle s’écrit alors

L(M, 0) = \frac{i^{n}}{π^{n}} ∫_{Δ_{τ}} \frac{∂^{n}h̃(z_{1}, …, z_{n})}{∂z_{1} ⋯ ∂z_{n}}dz_{1} ⋯ dz_{n}.  (23)

D’après l’identité (13), on en déduit que

L(M, 0) = \frac{i^{n}}{π^{n}} ∫_{Δ_{τ}} \frac{(2iπ)^{n}}{\sqrt{d_{F}}} ω_{E_{2}}.  (24)

La formule (22) en résulte immédiatement lorsque n > 2 vu la définition (8) de ω_{Eis}. Cette formule reste encore valable pour n = 2 puisque les intégrales des formes dz_{1} ∧ dz̄_{1}/y_{1}^{2} et dz_{2} ∧ dz̄_{2}/y_{2}^{2} sur le cycle Δ_{τ} sont nulles.

Corollaire 2.2. Pour tout réseau M dans K, les valeurs spéciales L(M, 0) sont rationnelles. Plus précisément, il existe une constante entière e_{F} , ne dépendant que du corps F et pas de l’extension K ni de M, telle que e_{F} L(M, 0) ∈ Z.

Démonstration. Cela résulte de ce que les périodes de ω_{Eis}, d’après la Proposition 1.2, appartiennent à un réseau Λ_{Eis} ⊂ (2iπ)^{n}Q qui ne dépend que du corps F.

3 Extensions quadratiques ATR et dérivées de fonctions L

On suppose dans cette section que l’extension quadratique K de F est ATR, et que v_{1} se prolonge en une place complexe de K. On veut donner dans ce cas une formule explicite pour L′(M, 0), lorsque M est un O_{I}-module projectif dans K.

Comme dans la section précédente, on pose τ := ω_{2}/ω_{1}, où (ω_{1}, ω_{2}) est une O_{F} -base positive de M, choisie de sorte que (1, τ) soit positivement orientée. On pose ensuite

\{ \begin{matrix}τ_{1} := v_{1}(τ) & ∈ H_{1} \\ (τ_{j}, τ′_{j}) := v_{j}(τ) & ∈ R × R, & pour j = 2, …, n. \end{matrix}

Le nombre complexe τ_{1} appartient alors à H_{1}. Pour chaque 2 ≤ j ≤ n, on appelle Υ_{j} la géodésique hyperbolique de H_{j} joignant τ_{j} à τ′_{j}, orientée dans le sens allant de τ_{j} à τ′_{j}. Le produit

R_{τ} = {τ_{1}} × Υ_{2} × ⋯ × Υ_{n} ⊂ H^{n}

est un espace contractile homéomorphe à R^{n−1}, que l’on munit de l’orientation naturelle héritée des Υ_{j}. Le stabilisateur Γ_{τ} de τ dans Γ est un groupe de rang (n−1) modulo torsion, que l’on peut identifier avec le sous-groupe d’unités relatives V_{1} introduit précédemment. Il opère sur R_{τ} par transformations de Möbius, et le quotient Γ_{τ}\R_{τ} est compact, isomorphe à un tore réel de dimension (n − 1). Soit Δ_{τ} un domaine fondamental pour l’action de Γ_{τ} sur R_{τ}. On identifie Δ_{τ} avec son image dans X, qui est un cycle fermé de dimension (n − 1) dans ce quotient.

Lemme 3.1. La classe de Δ_{τ} dans H_{n−1}(X , Z) est de torsion. En particulier, il existe une n-chaîne différentiable C_{τ} à coefficients dans Q telle que

∂C_{τ} = Δ_{τ}.  (25)

Démonstration. Le sous-groupe de torsion de H_{n−1}(X , Z) s’identifie avec le noyau de l’application naturelle H_{n−1}(X , Z)⟶H_{n−1}(X , Q). Lorsque n est pair, le Lemme 3.1 résulte de ce que H_{n−1}(X , Q) = 0 (cf. [Fr], Ch. III). De même, lorsque n = 2m + 1 est impair, le groupe

H^{n−1}(X , C) est engendré par les classes des ( \begin{matrix}n \\ m \end{matrix} ) formes différentielles du type

η_{S} := ⋀_{j∈S} \frac{dz_{j} ∧ dz̄_{j}}{y_{j}^{2}} , S ⊂ \{1, …, n\}, #S = m.

Or on voit que les restrictions de ces classes sur Δ_{τ} (et même sur les régions R_{τ}) sont nulles, puisque la projection de R_{τ} sur chaque facteur H_{j} est de dimension réelle 0 ou 1. On en déduit par la dualité de Poincaré que l’image de Δ_{τ} dans H_{n−1}(X , C) est nulle.

On introduit ω_{Eis}^{+} = \frac{1}{2}(Id +T_{v_{1}}^{∗})ω_{Eis} la projection de la forme différentielle ω_{Eis} sur l’espace propre de T_{v_{1}}^{∗} associé à la valeur propre +1, autrement dit la “partie réelle pour la place v_{1}” de la forme ω_{Eis}.

Théorème 3.2. Soit M un O_{I}-module projectif associé à τ ∈ K. L’intégrale de ω_{Eis}^{+} sur C_{τ} ne dépend pas du choix de C_{τ} vérifiant (25), et l’on a

(−2)^{n−1} ∫_{C_{τ}} ω_{Eis}^{+} = (2iπ)^{n−1}L′(M, 0).  (26)

Démonstration. La première assertion découle du fait que ω_{Eis}^{+} est exacte : le Lemme 1.1 montre que ω_{Eis}^{+} = dη/2. Le calcul se poursuit en utilisant le théorème de Stokes pour obtenir

∫_{C_{τ}} ω_{Eis}^{+} = ∫_{Δ_{τ}} \frac{η}{2}.  (27)

Supposons tout d’abord que n > 2, de sorte que η est la (n − 1)-forme holomorphe sur X donnée par la formule (15). Comme K est une extension ATR, on choisit ici r = n − 1 ≥ 2 et c = 1 dans le corollaire 7.2.i). La formule correspondante s’écrit

L′(M, 0) = \frac{i^{n−1}}{2π^{n−1}} ∫_{Δ_{τ}} η,  (28)

ce qui permet de conclure.

Il reste à traiter le cas où n = 2 en faisant cette fois appel au corollaire 7.2.ii). On choisit r = 1 et c = 1 dans la formule (46) qui s’écrit

L′(M, 0) = \frac{i}{2π} ∫_{Δ_{τ}} (\frac{∂h̃}{∂z_{2}} − \frac{4R_{F}}{z_{2} − z̄_{2}} ) dz_{2}.

Au vu de la définition (17) de la forme η pour n = 2, cette égalité se réduit à

∫_{Δ_{τ}} −η = (2iπ)L′(M, 0).

La formule de Stokes permet de nouveau de conclure à la formule souhaitée.

4 Application d’Abel-Jacobi et unités de Stark

Quand on combine le Théorème 3.2 avec la Conjecture 1 de Stark, on obtient la formule conjecturale suivante pour le logarithme du module de l’unité de Stark :

e_{I}(−2)^{n−1} ∫_{C_{τ}} ω_{Eis}^{+} = 2δ_{I}(2iπ)^{n−1} log |ṽ_{1}(u_{τ})|,  (29)

où e_{I} désigne l’ordre du groupe des racines de l’unité dans H_{I}. Pour relever l’invariant réel log |ṽ_{1}(u_{τ})| = Re (log ṽ_{1}(u_{τ})) en un invariant complexe bien défini modulo 2iπZ, il suffira de remplacer dans la formule (29) la différentielle exacte ω_{Eis}^{+} par la forme différentielle ω_{Eis}.

Pour tout m ≥ 0, on désigne par C_{m}(X) le groupe engendré par les combinaisons linéaires formelles à coefficients dans Z des chaînes différentiables de dimension réelle m sur X, et l’on désigne par C_{m}^{0}(X) et C_{m}^{00}(X) les sous-groupes engendrés par les cycles différentiables fermés et homologues à zéro respectivement :

C_{m}^{0}(X) := {Δ ∈ C_{m}(X) tel que ∂Δ = 0}.
C_{m}^{00}(X) := {Δ ∈ C_{m}(X) tel qu’il existe C ∈ C_{m+1}(X) avec ∂C = Δ}.

On pose aussi

C̃_{m}^{00}(X) := {Δ ∈ C_{m}(X) tel qu’il existe C ∈ C_{m+1}(X) ⊗ Q avec ∂C = Δ}.

On sait que C_{n−1}^{0}(X)/C_{n−1}^{00}(X) = H_{n−1}(X , Z) est un groupe de type fini, dont le sousgroupe de torsion s’identifie avec C̃_{n−1}^{00}(X)/C_{n−1}^{00}(X). Soit n_{F} l’exposant de ce groupe fini, et soit

Λ′_{Eis} := \frac{1}{n_{F}} Λ_{Eis}.

On peut définir à partir de la forme différentielle ω_{Eis} une “application d’Abel-Jacobi”

Φ_{Eis} : C_{n−1}^{00}(X)⟶C/Λ_{Eis}

en posant

Φ_{Eis}(Δ) = ∫_{∂C=Δ}ω_{Eis} (mod Λ_{Eis}),

l’intégrale étant prise sur n’importe quelle n-chaîne différentiable C sur X tel que ∂C = Δ. Cette application Φ_{Eis} est bien définie modulo le réseau des périodes Λ_{Eis} en vertu de la Proposition 1.2. Quitte à remplacer le réseau Λ_{Eis} par Λ′_{Eis}, on peut étendre Φ_{Eis} au groupe C̃_{n−1}^{00}(X) tout entier, en posant

Φ_{Eis}(Δ) = \frac{1}{n_{F}} ∫_{∂C=n_{F} Δ}ω_{Eis} (mod Λ′_{Eis}),  (30)

l’intégrale étant prise sur n’importe quelle n-chaîne différentiable C sur X tel que ∂C = n_{F} Δ. On pose ensuite

J_{τ} := e_{I}(−2)^{n−1}Φ_{Eis}(Δ_{τ}) ∈ C/Λ′_{Eis}.

Soit Λ′′_{Eis} le réseau de (2iπ)^{n}R engendré par Λ′_{Eis} et (2iπ)^{n}Z. On fixe une place ṽ_{1} de H_{I} au-dessus de la place v_{1} de K. Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer la conjecture principale de cet article.

Conjecture 4.1. Pour tout O_{I}-module M associé à τ ∈ K, il existe une unité u_{τ} ∈ O_{H_{I}}^{×} telle que

J_{τ} = 2δ_{I}(2iπ)^{n−1} log(ṽ_{1}(u_{τ})) (mod Λ′′_{Eis}).

De plus, pour tout 2 ≤ j ≤ n, l’image de u_{τ} par n’importe quel plongement complexe audessus de v_{j} est de module 1. Pour tout α ∈ G_{I}, on a u_{τ^{α}} = rec(α)^{−1}u_{τ}, où τ^{α} désigne l’invariant associé au module M^{α}.

5 Algorithmes

L’invariant J_{τ} et l’application d’Abel-Jacobi Φ_{Eis} ont l’inconvénient de ne pas être faciles à calculer numériquement a priori. Le but de la présente section est de décrire un algorithme pour le calcul de Φ_{Eis} dans la cas le plus simple où n = 2.

La première étape consiste à décrire la classe de cohomologie de ω_{Eis} en terme de cohomologie du groupe Γ.

On rappelle le dictionnaire bien connu entre la cohomologie de deRham de X et la cohomologie de Γ. Si P, Q, R sont des points de H_{1} × H_{2} = H^{2}, on appelle Δ(P, Q, R) n’importe quelle 2-chaîne différentiable dont la frontière est égale au triangle géodésique de sommets P, Q et R. On munit cette région de l’orientation standard, selon les définitions usuelles de l’homologie singulière. On pose aussi, pour P = (z_{1}, z_{2}) ∈ H^{2} et A, B ∈ Γ,

Δ_{P} (A, B) := Δ(P, AP, ABP).

On associe à ω_{Eis} (plus précisément : à sa classe de cohomologie) un 2-cocycle

κ_{P} ∈ Z^{2}(Γ, C)

par la règle

κ_{P} (A, B) := ∫_{Δ_{P} (A,B)} ω_{Eis}.

Un calcul direct montre que κ_{P} satisfait la relation de 2-cocycle : dκ_{P} = 0, et que son image dans H^{2}(Γ, C) ne dépend pas du choix du point base P.

On rappelle le réseau Λ_{Eis} ⊂ C des périodes de ω_{Eis} et l’on note κ̄_{P} l’image de κ_{P} dans Z^{2}(Γ, C/Λ′_{Eis}).

Lemme 5.1. La classe de κ̄_{P} dans H^{2}(Γ, C/Λ′_{Eis}) est nulle.

Démonstration. Pour tout A ∈ Γ, on appelle S_{P} (A) l’image dans X du chemin géodésique sur H^{2} allant de P à AP. Comme S_{P} (A) est un 1-cycle fermé sur X et que H_{1}(X , Q) = 0, il existe une 2-chaîne différentiable sur X à coefficients entiers, que l’on appellera D_{P} (A), telle que

∂D_{P} (A) = n_{F} S_{P} (A).  (31)

La région D_{P} (A) est déterminée par cette équation modulo les 2-cycles fermés, et par conséquent l’élément de C/Λ′_{Eis} défini par

ρ_{P} (A) := \frac{1}{n_{F}} ∫_{D_{P} (A)} ω_{Eis} (mod Λ′_{Eis})  (32)

ne dépend pas du choix de D_{P} (A) satisfaisant (31). On vérifie ensuite par un calcul direct que

dρ_{P} (A, B) = κ_{P} (A, B) (mod Λ′_{Eis}).

Le Lemme 5.1 permet de définir une 1-chaîne ρ_{P} en choisissant une solution de l’équation

dρ_{P} = κ_{P} (mod Λ′_{Eis}).  (33)

La proposition suivante permet de calculer l’invariant numérique Φ_{Eis}(Δ_{τ}) en terme de cohomologie des groupes—du moins, en admettant que l’on sache résoudre l’équation (33).

Soit K un corps ATR et soit τ ∈ K un élément provenant d’une base positive d’un réseau M ⊂ K. Parce que n = 2, le groupe Γ_{τ} est de rang un modulo la torsion. On se donne un générateur γ_{τ} de Γ_{τ} modulo torsion, choisi de sorte que pour tout point z_{2} de la géodésique Υ_{2}, le chemin allant de z_{2} à γ_{τ}z_{2} soit orienté dans le sens positif. On choisit le point base P ∈ H_{1} × H_{2} de manière à ce que sa première composante soit égale à τ_{1} = v_{1}(τ). Avec ces choix, on a alors

Proposition 5.2.

Φ_{Eis}(Δ_{τ}) = ρ_{P} (γ_{τ}).

Démonstration. Cela résulte directement de la formule pour ρ_{P} de l’équation (32).

La définition du 2-cocycle κ_{P} exige d’intégrer ω_{Eis} sur des régions de type Δ_{P} (A, B) peu commodes à paramétrer. Dans les calculs numériques, il est donc utile de remplacer ce cocycle par un représentant de la même classe de cohomologie qui ne fait intervenir que des régions “rectangulaires” de la forme L_{1} × L_{2} ⊂ H_{1} × H_{2} (avec L_{1} et L_{2} de dimension 1, bien entendu). Les intégrales de ω_{Eis} sur de telles régions s’expriment au moyen d’intégrales itérées, et sont donc plus faciles à calculer numériquement. (On se sert pour cela du développement de Fourier de ω_{Eis}.)

Si u, v appartiennent à H, soit Υ[u, v] ⊂ H le segment géodésique joignant le point u au point v. On pose

□_{P} (A, B) = Υ[z_{1}, A_{1}z_{1}] × Υ[A_{2}z_{2}, A_{2}B_{2}z_{2}],

et on définit un nouveau cocycle κ_{P}^{□} ∈ Z^{2}(Γ, C) par la règle

κ_{P}^{□}(A, B) = ∫_{□_{P} (A,B)}ω_{Eis}.

Il est nécessaire de modifier légèrement κ_{P}^{□} pour qu’il représente la même classe de cohomologie que κ_{P} . On dispose pour cela d’un 2-cocycle classique sur SL_{2}(R) appelé co-

cycle d’aire, dont on rappelle la définition : étant données deux matrices M = ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ c & d \end{matrix} ) et

N = ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ c′ & d′ \end{matrix} ) de SL_{2}(R) et en notant MN = ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ c′′ & d′′ \end{matrix} ) leur produit, la formule

aire(M, N) := −signe(c c′ c′′)  (34)

(où signe(x) = x/|x| si x ≠ 0, et 0 sinon) définit un 2-cocycle sur SL_{2}(R) à valeurs entières. Par composition avec les plongements de Γ dans SL_{2}(R), on en déduit deux 2-cocycles sur Γ à valeurs dans Z. On définit finalement le 2-cocycle κ̃_{P} sur Γ par la formule

κ̃_{P} (A, B) : = κ_{P}^{□}(A, B) − iπR_{F} aire(A_{1}, B_{1}) + iπR_{F} aire(A_{2}, B_{2})
∫_{z_{1}}^{A_{1}z_{1}}∫_{A_{2}z_{2}}^{A_{2}B_{2}z_{2}}ω_{Eis} − iπR_{F} aire(A_{1}, B_{1}) + iπR_{F} aire(A_{2}, B_{2}).

Proposition 5.3. Les cocycles κ_{P} et κ̃_{P} représentent la même classe de cohomologie dans H^{2}(Γ, C). Plus précisément, on a

κ_{P} (A, B) − κ̃_{P} (A, B) = dξ_{P} (A, B),

où

ξ_{P} (A) = − ∫_{Δ_{P} (A)} ω_{Eis}, avec Δ_{P} (A) = Δ((z_{1}, z_{2}), (z_{1}, A_{2}z_{2}), (A_{1}z_{1}, A_{2}z_{2})).

Démonstration. On dit que deux 2-chaînes Z_{1} et Z_{2} sont homologues si leurs frontières sont égales, et on écrit dans ce cas Z_{1} ∼ Z_{2}. Un calcul direct fournit la relation

−□_{P} (A, B) + Δ_{P} (A, B) + Δ_{P} (A) − Δ_{P} (AB) ∼ Δ_{1} + Δ_{2} − Δ_{3},  (35)

avec

\{ \begin{matrix}Δ_{1} = Δ((A_{1}B_{1}z_{1}, A_{2}B_{2}z_{2}), (z_{1}, A_{2}B_{2}z_{2}), (A_{1}z_{1}, A_{2}B_{2}z_{2})), \\ Δ_{2} = Δ((z_{1}, z_{2}), (z_{1}, A_{2}z_{2}), (z_{1}, A_{2}B_{2}z_{2})), \\ Δ_{3} = Δ((A_{1}z_{1}, A_{2}z_{2}), (A_{1}z_{1}, A_{2}B_{2}z_{2}), (A_{1}B_{1}z_{1}, A_{2}B_{2}z_{2})). \end{matrix}

Par A-invariance, on observe que Δ_{3} = Δ_{P} (B) dans X . En outre, l’intégrale de ω_{E_{2}} sur Δ_{1} et Δ_{2} est nulle, et par conséquent

∫_{Δ_{1}+Δ_{2}} ω_{Eis} = \frac{R_{F}}{2} ∫_{Δ_{1}} \frac{dz_{1} ∧ dz̄_{1}}{y_{1}^{2}} − \frac{R_{F}}{2} ∫_{Δ_{2}} \frac{dz_{2} ∧ dz̄_{2}}{y_{2}^{2}} .

Ces dernières intégrales se calculent élémentairement : on constate d’abord qu’elles ne dépendent pas du point base P = (z_{1}, z_{2}), et que dz_{j} ∧ dz̄_{j} = −2idx_{j} ∧ dy_{j}. Or l’intégrale

∫_{Δ_{j}} \frac{dx_{j} ∧ dy_{j}}{y_{j}^{2}}

n’est rien d’autre que l’aire, dans le disque de Poincaré, du triangle idéal orienté de sommets ∞, A_{j}∞ et A_{j}B_{j}∞. D’après [K-M] formule 1.2, il en résulte que

∫_{Δ_{1}} \frac{dz_{1} ∧ dz̄_{1}}{y_{1}^{2}} = −2iπ aire(A_{1}, B_{1}) et ∫_{Δ_{2}} \frac{dz_{2} ∧ dz̄_{2}}{y_{2}^{2}} = −2iπ aire(A_{2}, B_{2}).

On conclut alors de (35) que

κ_{P} (A, B) = κ_{P}^{□}(A, B) + dξ_{P} (A, B) − iπR_{F} aire(A_{1}, B_{1}) + iπR_{F} aire(A_{2}, B_{2}),

d’où la proposition.

Corollaire 5.4. Soit ρ̃_{P} une solution de l’équation

dρ̃_{P} = κ̃_{P} (mod Λ′_{Eis}).  (36)

Alors on a Φ_{Eis}(Δ_{τ}) = ρ̃_{P} (γ_{τ}).

Démonstration. La Proposition 5.3 montre que l’on peut choisir

ρ̃_{P} (A) = ρ_{P} (A) − ξ_{P} (A) (mod Λ′_{Eis}),

où la 1-cochaîne ξ_{P} est définie dans l’énoncé de cette proposition. Comme la région Δ_{P} (γ_{τ}) qui intervient dans la formule pour ξ_{P} (γ_{τ}) est contenue dans {τ_{1}} × Υ[z_{2}, γ_{τ}z_{2}], on a

ξ_{P} (γ_{τ}) = 0.

Le corollaire en résulte.

Remarque 5.5. Dans le présent article le cocycle κ̃_{P} n’intervient que dans les algorithmes pour calculer J_{τ} numériquement. Signalons tout de même que la proposition 5.3 et le corollaire 5.4 sont d’un intérêt plus que pratique. Dans le contexte partiellement p-adique étudié dans [Dar1] et [DD] où l’on est amené à travailler avec des formes modulaires sur H_{p} × H, on ignore comment donner un sens aux régions de la forme Δ_{P} (A, B), ou au cocycle κ_{P}. Par contre, on sait définir ce qui doit jouer le rôle des intégrales “itérées” de formes modulaires (cuspidales ou Eisenstein) sur des régions “rectangulaires” de la forme □_{P} (A, B). Cela permet de définir un avatar p-adique de κ̃_{P}, et par conséquent des versions p-adiques des invariants J_{τ} du présent article.

Il reste finalement à calculer une solution de l’équation (33) ou (36). Le procédé étant le même, qu’il s’agisse de ρ_{P} ou de ρ̃_{P}, on se bornera au cas de ρ_{P} pour alléger les notations.

L’algorithme que nous proposons pour calculer ρ_{P} (γ), pour γ n’importe quel élément de Γ, se base sur l’observation suivante : lorsque γ = hkh^{−1}k^{−1} est un commutateur dans Γ, la formule (33) permet d’exprimer ρ_{P} (γ) directement en fonction de κ_{P}. En effet, on a d’abord

ρ_{P} (γ) = ρ_{P} (h) + ρ_{P} (k) + ρ_{P} (h^{−1}) + ρ_{P} (k^{−1}) + κ_{P} (h, kh^{−1}k^{−1})
+κ_{P} (k, h^{−1}k^{−1}) + κ_{P} (h^{−1}, k^{−1}) (mod Λ′_{Eis}).

Par ailleurs, l’identité facile ρ_{P} (Id) = 0 assure que

ρ_{P} (h) + ρ_{P} (h^{−1}) = −κ_{P} (h, h^{−1}).

En reportant, on en conclut que

ρ_{P} (γ) = κ_{P} (h, kh^{−1}k^{−1}) + κ_{P} (k, h^{−1}k^{−1}) + κ_{P} (h^{−1}, k^{−1})
−κ_{P} (h, h^{−1}) − κ_{P} (k, k^{−1}) (mod Λ′_{Eis}).

Cette dernière formule, avec ρ_{P} et κ_{P} remplacés par ρ̃_{P} et κ̃_{P} respectivement, donne un accès numérique à ρ̃_{P} (hkh^{−1}k^{−1}) puisque les nombres complexes κ̃_{P} (g, g′) se calculent grâce au développement en série de Fourier de la série d’Eisenstein.

Enfin, l’abélianisé Γ_{ab} de Γ est fini (voir [DL, Prop. 1.3]). Son ordre divise 4N_{F/ℚ}(ϵ^{2} − 1), où ϵ désigne l’unité fondamentale de F. Pour calculer ρ_{P} (γ) pour une matrice γ de Γ, il suffit donc de décomposer γ^{|Γ_{ab}|} en un produit de commutateurs.

Sous l’hypothèse que F est de nombre de classes 1, on peut procéder comme suit. L’anneau des entiers O_{F} est euclidien en k-étapes pour la norme selon la terminologie de Cooke [Co, Th. 1]. Par conséquent, le groupe modulaire de Hilbert Γ est engendré par les matrices

élémentaires de type suivant : l’involution S ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , les matrices de translation T_{θ} =

( \begin{matrix}1 & θ \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , et les puissances de la matrice U = ( \begin{matrix}ϵ & 0 \\ 0 & ϵ^{−1} \end{matrix} ) . Il en résulte que γ^{|Γ_{ab}|} s’écrit

comme un produit de matrices élémentaires grâce à l’algorithme d’Euclide dans O_{F} , puis comme un produit de commutateurs à l’aide des relations

UT_{θ}U^{−1}T_{θ}^{−1} = T_{θ(ϵ^{2}−1)}, SUS^{−1}U^{−1} = U^{2}.

Remarque 5.6. Dans notre contexte “Eisenstein”, on ne peut pas utiliser tel quel l’algorithme proposé dans [DL, section 4]. En effet, les intégrales du type ∫^{τ} ∫_{c_{2}}^{c_{1}} ω_{f} (avec c_{1}, c_{2} ∈ P^{1}(F)) n’ont de sens que si f est une forme modulaire de Hilbert cuspidale. Notons cependant que cet algorithme et le nôtre reposent tous deux sur l’hypothèse que O_{F} est un anneau euclidien.

6 Exemples numériques

Dans cette partie, nous présentons quelques résultats expérimentaux obtenus grâce à l’algorithme précédent. Il s’agit, pour quelques cas d’extensions ATR K/F, de tester numériquement la Conjecture 4.1 de cet article et d’exhiber le polynôme minimal de l’unité attendue.

6.1 Corps de base Q(\sqrt{5})

On considère d’abord la situation où F = Q(\sqrt{5}) et l’on note ϵ = \frac{1+\sqrt{5}}{2} son unité fondamentale de norme −1. L’anneau des entiers O_{F} = Z[ϵ] est euclidien pour la norme. On fixe les places archimédiennes v_{1} et v_{2} de F de sorte que ϵ_{1} < 0 et ϵ_{2} > 0. On supposera dans cette section que Λ′′_{Eis} = Λ′_{Eis}, et l’on se donne un entier m_{F} > 0 tel que Λ′_{Eis} ⊂ (2iπ)^{2}m_{F} Z. Les exemples ci-dessous laissent penser que m_{Q(\sqrt{5})} = 15 convient.

Nous étudions maintenant les invariants associés à différentes extensions quadratiques ATR K de F dans lesquelles la place v_{1} devient complexe.

(a) Un exemple à groupe des classes C_{4}.

On considère K = F (\sqrt{21ϵ − 11}). C’est une extension ATR de F, dont le groupe des classes au sens restreint est cyclique d’ordre 4.

Aux quatre classes distinctes C_{1}, …, C_{4} de O_{K} au sens restreint, on associe les éléments τ_{1}, …, τ_{4} de K fixés par les matrices suivantes de Γ :

\begin{matrix}γ_{1} ( \begin{matrix}4ϵ + 2 & −2ϵ − 5 \\ −2ϵ − 1 & 2ϵ + 1 \end{matrix} ) , & γ_{2} = ( \begin{matrix}13ϵ + 9 & 4ϵ + 1 \\ −32ϵ − 18 & −7ϵ − 6 \end{matrix} ) , \\ γ_{3} = ( \begin{matrix}−47ϵ − 17 & 9ϵ − 6 \\ −520ϵ − 308 & 53ϵ + 20 \end{matrix} ) , & γ_{4} = ( \begin{matrix}165ϵ + 79 & 5ϵ − 2 \\ −8512ϵ − 5160 & −159ϵ − 76 \end{matrix} ) . \end{matrix}

On calcule dans C/m_{F} Z les invariants ρ_{k}(γ_{k}) := ρ̃_{τ_{k}}(γ_{k})/(2iπ)^{2} associés. On trouve avec une précision minimale de 50 décimales significatives

ρ_{1}(γ_{1}) ≈ −0.3666666666 … − 0.27784944302 … i;
ρ_{2}(γ_{2}) ≈ 0.32623940638 …;
ρ_{3}(γ_{3}) ≈ 1.83333333333 … + 0.27784944302 … i;
ρ_{4}(γ_{4}) ≈ 17.8404272602 ….

Sans connaître la constante m_{F} , on doit tester l’algébricité du nombre complexe bien défini

u_{k}(m_{F}) = exp(2iπm_{F} ρ_{k}(γ_{k})).

Cependant, dans la pratique, il semble qu’il existe toujours une racine m_{F} -ième de u_{k}(m_{F}) qui appartienne au corps de définition de u_{k}(m_{F}). Pour chaque valeur de ρ_{k}(γ_{k}) dans la liste précédente, notons

u_{k}(1) = exp(2iπρ_{k}(γ_{k})).

Le nombre complexe u_{k}(1) est bien défini seulement modulo les racines m_{F} -ièmes de l’unité. Quitte à modifier u_{k}(1) par une racine de l’unité, on peut donc espérer tester avec succès son algébricité. Précisément, la commande Pari algdep(u_{1}(1)e^{− \frac{4}{15} iπ}, 16) suggère la relation algébrique suivante pour u_{1} := u_{1}(1)e^{− \frac{4}{15} iπ} :

Q_{1}(x) := x^{8} + 4x^{7} − 10x^{6} + x^{5} + 9x^{4} + x^{3} − 10x^{2} + 4x + 1.  (37)

On en conclut que le nombre complexe u_{1} coïncide sur 50 décimales avec la racine −5.7303 … du polynôme Q_{1}. Il en va de même pour les trois autres invariants : u_{2} := u_{2}(1)e^{\frac{23}{15} iπ} coïncide avec la racine 0.834403847893 … + 0.5511535345 … i de Q_{1}. u_{3} := u_{3}(1)e^{\frac{20}{15} iπ} coïncide avec la racine −0.17450889906 … = 1/u_{1}. u_{4} := u_{4}(1)e^{\frac{2}{15} iπ} coïncide avec la racine 0.834403847893 … − 0.5511535345 … i.

On vérifie a posteriori que Q_{1} est effectivement le polynôme minimal d’une unité du corps de classes de Hilbert (au sens restreint) de K.

(b) Un exemple à groupe des classes C_{6}.

On considère maintenant K = F (\sqrt{26ϵ − 37}), dont le nombre de classes au sens restreint est 6. On trouve avec parfois 200 décimales de précision dans C/m_{F} Z :

ρ_{1}(γ_{1}) ≈ 4.499999999999999 … − 0.728584512 … i;
ρ_{2}(γ_{2}) ≈ −1.078476376302846 … − 0.195385083050863 … i;
ρ_{3}(γ_{3}) ≈ −2.178476376302846 … + 0.195385083050863 … i;
ρ_{4}(γ_{4}) ≈ −18.61666666666666 … + 0.728584510266413 … i;
ρ_{5}(γ_{5}) ≈ −0.988190290363819 … + 0.195385083050863 … i;
ρ_{6}(γ_{6}) ≈ −2.421523623697153 … − 0.195385083050863 … i.

La commande algdep(u_{2}(1)e^{\frac{16}{15} iπ}, 12) de Pari suggère la relation algébrique :

Q_{2}(x) = x^{12} + 106x^{11} + 873x^{10} − 2636x^{9} + 3040x^{8} − 626x^{7} − 1108x^{6} − 626x^{5}
+3040x^{4} + 2636x^{3} + 873x^{2} + 106x + 1.

Ce polynôme est effectivement le polynôme minimal d’une unité de H_{K}^{+}. En outre, les nombres complexes

\begin{aligned}u_{1} : & = u_{1}(1) & = & −97.30316237461782 …, \\ u_{2} : & = u_{2}(1)e^{\frac{16}{15} iπ} & ≈ & −3.276785825745970 … + 0.955188763599790 … i, \\ u_{3} : & = u_{3}(1)e^{\frac{19}{15} iπ} & ≈ & −0.281276149057161 … + 0.081992486337387 … i, \\ u_{4} : & = u_{4}(1)e^{\frac{5}{15} iπ} & ≈ & −0.010277158271074 …, \\ u_{5} : & = u_{5}(1)e^{\frac{16}{15} iπ} & ≈ & −0.281276149057161 … − 0.081992486337387 … i, \\ u_{6} : & = u_{6}(1)e^{\frac{16}{15} iπ} & ≈ & −3.276785825745970 … − 0.955188763599790 … i \end{aligned}

coïncident chacun avec une racine de Q_{2} sur plusieurs dizaines de décimales.

(c) Un exemple à groupe des classes C_{2} × C_{4}.

Le groupe des classes (au sens restreint) de K = F (\sqrt{21ϵ − 29}) est d’ordre 8, isomorphe à C_{2} × C_{4}. L’algorithme décrit précédemment permet de calculer

ρ_{1}(γ_{1}) ≈ −1.866666666666 … − 0.787374943777 … i,
ρ_{2}(γ_{2}) ≈ 0.297896510457 … + 0.068709821260 … i,
ρ_{3}(γ_{3}) ≈ −0.300000000000 … + 0.161542382812 … i,
ρ_{4}(γ_{4}) ≈ −1.097896510457 … + 0.068709821260 … i,
ρ_{5}(γ_{5}) ≈ −0.133333333333 … + 0.787374943777 … i,
ρ_{6}(γ_{6}) ≈ −0.031229843791 … − 0.068709821260 … i,
ρ_{7}(γ_{7}) ≈ −0.900000000000 … − 0.161542382812 … i,
ρ_{8}(γ_{8}) ≈ −1.38121 … − 0.391304 … i.

L’invariant le plus précis est ρ_{5}(γ_{5}) dont on a obtenu 200 décimales significatives. La commande Pari algdep(u_{5}(1)e^{− \frac{19}{15} iπ}, 16, 200) fournit comme candidat le polynôme réciproque

Q_{3}(x) = x^{16} + 139x^{15} − 255x^{14} − 538x^{13} + 2018x^{12} − 2237x^{11} + 1898x^{10} − 3034x^{9}

+4137x^{8} − 3034x^{7} + 1898x^{6} − 2237x^{5} + 2018x^{4} − 538x^{3} − 255x^{2} + 139x + 1.

On constate d’abord que Q_{3} est en effet le polynôme minimal d’une unité de H_{K}^{+}. Par ailleurs, six autres invariants coïncident eux aussi avec des racines de ce polynôme, au moins pour leurs n premières décimales (10 ≤ n ≤ 200 selon les cas) :

u_{1} := u_{1}(1)e^{\frac{16}{15} iπ} ≈ −140.7834195600 …;
u_{2} := u_{2}(1)e^{\frac{19}{15} iπ} ≈ 0.589707772431 … − 0.271949567981 … i;
u_{3} := u_{3}(1)e^{\frac{24}{15} iπ} ≈ −0.362402166665 …;
u_{4} := u_{4}(1)e^{\frac{5}{15} iπ} ≈ 0.589707772431 … + 0.271949567981 … i;
u_{5} := u_{5}(1)e^{\frac{19}{15} iπ} ≈ −0.007103109180 …;
u_{6} := u_{6}(1)e^{\frac{3}{15} iπ} ≈ 1.398366700490 … + 0.644870625513 … i;
u_{7} := u_{7}(1)e^{\frac{12}{15} iπ} ≈ −2.759365401151 ….

La précision avec laquelle ρ_{8}(γ_{8}) est obtenu se révèle insuffisante pour identifier u_{8} avec une des racines de Q_{3}. Pour des raisons de symétrie, il doit correspondre à la racine

1.398366700490 … − 0.644870625513 … i.

6.2 Corps de base Q(\sqrt{2})

L’anneau des entiers de F′ = Q(\sqrt{2}) est euclidien pour la norme. On note ϵ = 1 + \sqrt{2} son unité fondamentale de norme −1, et l’on ordonne les plongements de sorte que ϵ_{1} < 0 et ϵ_{2} > 0. La constante m_{F′} optimale est vraisemblablement m_{F′} = 6 dans ce cas.

(a) Un exemple à groupe des classes C_{4}.

L’extension ATR K = F′(\sqrt{12ϵ − 11}) possède un groupe des classes au sens restreint cyclique d’ordre 4. Nous associons à chaque classe un invariant dans C/m_{F′}Z :

ρ_{1}(γ_{1}) ≈ −1.333333333333333 … − 0.301378336840440 … i;
ρ_{2}(γ_{2}) ≈ −0.274078669810665 …;
ρ_{3}(γ_{3}) ≈ 0.166666666666666 … + 0.301378336840440 … i;
ρ_{4}(γ_{4}) ≈ −3.225921330189334 ….

Tous sont obtenus avec une précision supérieure à 40 décimales. On en déduit au moyen de la commande Pari algdep le polynôme candidat

Q_{4}(x) = x^{8} + 6x^{7} − 5x^{6} − 4x^{5} + 5x^{4} − 4x^{3} − 5x^{2} + 6x + 1.

On vérifie a posteriori que ce polynôme définit bien une unité du corps de classes de Hilbert au sens restreint de K. Par ailleurs, 4 des 8 racines de Q_{4} coïncident sur leurs 40 premières décimales avec les nombres complexes

\begin{aligned}u_{1} := u_{1}(1)e^{\frac{10}{6} iπ} & ≈ & −6.643347233735518 …; \\ u_{2} := u_{2}(1)e^{\frac{10}{6} iπ} & ≈ & −0.931490243381137 … − 0.363766307518644 … i; \\ u_{3} := u_{3}(1)e^{\frac{4}{6} iπ} & ≈ & −0.150526528994587 …; \\ u_{4} := u_{4}(1)e^{\frac{8}{6} iπ} & ≈ & −0.931490243381137 … + 0.363766307518644 … i. \end{aligned}

(b) Un exemple à groupe des classes C_{8}.

On considère enfin l’extension quadratique ATR K = F′(\sqrt{25ϵ − 31}), dont le groupe des classes au sens restreint est cyclique d’ordre 8. À chaque classe correspond une matrice γ_{k} ∈ SL_{2}(O_{F′}) et un invariant de C/m_{F′}Z :

ρ_{1}(γ_{1}) ≈ −3.666666666666 … − 2.047636549497 … i;
ρ_{2}(γ_{2}) ≈ 1.855997078695 … − 0.315172999961 … i;
ρ_{3}(γ_{3}) ≈ −122.347 … + 0.625 … i;
ρ_{4}(γ_{4}) ≈ −87.06066958797 … + 0.315172999961 … i;
ρ_{5}(γ_{5}) ≈ −18.16666666666 … + 2.047636549497 … i;
ρ_{6}(γ_{6}) ≈ 20.060669587971 … + 0.315172999961 … i;
ρ_{7}(γ_{7}) ≈ −13.884816073095 …;
ρ_{8}(γ_{8}) ≈ 47.894002921304 … − 0.3151729999612 … i.

L’invariant le plus précis est ρ_{5}(γ_{5}), qu’on a pu calculer avec plus de 200 décimales significatives. La commande Pari algdep(u_{5}(1)e^{− \frac{8}{16} iπ}, 16) suggère le polynôme réciproque

Q_{5}(x) := x^{16} + 386792x^{15} − 5613916x^{14} + 21963312x^{13} − 13291318x^{12} + 32052888x^{11}
+15011472x^{10} + 16774296x^{9} + 36336275x^{8} + 16774296x^{7} + 15011472x^{6}
+32052888x^{5} − 13291318x^{4} + 21963312x^{3} − 5613916x^{2} + 386792x + 1.

Il est aisé de vérifier que Q_{5} définit effectivement une unité de H_{K}^{+}. À une racine de l’unité près, les exponentielles des nombres complexes précédents coïncident sur leurs premières décimales (entre 10 et 200 selon les cas) avec les racines suivantes de Q_{5} :

\begin{aligned}u_{1} := u_{1}(1)e^{\frac{2}{6} iπ} & ≈ & −386806.513645927 …; \\ u_{2} := u_{2}(1)e^{\frac{2}{6} iπ} & ≈ & 7.17151519909699 … + 1.02818667270890 … i; \\ u_{4} := u_{4}(1)e^{\frac{1}{6} iπ} & ≈ & 0.136632045175690 … + 0.0195890608908274 … i; \\ u_{5} := u_{5}(1)e^{\frac{8}{6} iπ} & ≈ & −0.00000258527187 …; \\ u_{6} := u_{6}(1)e^{\frac{11}{6} iπ} & ≈ & 0.136632045175690 … − 0.0195890608908274 … i; \\ u_{7} := u_{7}(1)e^{\frac{7}{6} iπ} & ≈ & −0.317863811003618 … − 0.948136381357796 … i; \\ u_{8} := u_{8}(1)e^{\frac{1}{6} iπ} & ≈ & 7.17151519909699 … − 1.02818667270890 … i. \end{aligned}

La précision obtenue sur les décimales de ρ_{3}(γ_{3}) est insuffisante pour identifier u_{3}. Pour des raisons de symétrie, il doit correspondre à la racine suivante de Q_{5} :

−0.317863811003618 … + 0.948136381357796 … i.

7 Périodes de séries d’Eisenstein.

L’objet de cette partie est d’établir une formule générale qui exprime la valeur spéciale en s = 0 des fonctions L introduites précédemment en terme de périodes de séries d’Eisenstein pour un tore de Γ, ce qui complète la démonstration des théorèmes 2.1 et 3.2.

Des formules similaires ont déjà été obtenues dans [Har] et [Ha] par exemple. On donne ici une présentation des résultats exposés dans la thèse du premier auteur [Ch1, section 5] sous une forme directement utilisable dans les parties 2 et 3.

Quelques notations multi-indices standard permettront de rendre les formules plus agréables. On associe d’abord à un n-uplet de nombres complexes z = (z_{1}, …, z_{n}) ∈ C^{n} sa partie imaginaire y = (Im(z_{1}), …, Im(z_{n})), sa trace T r(z) = z_{1} +…+z_{n} et sa norme N(z) = z_{1} ⋯ z_{n}. Pour un élement μ de F, on désigne par μz et z + μ les n-uplets (μ_{1}z_{1}, …, μ_{n}z_{n}) et (μ_{1} +z_{1}, …, μ_{n} +z_{n}) respectivement. On introduit alors pour Re (s) > 1 la série d’Eisenstein

E(z, s) = ∑_{(μ, ν)∈O_{F}^{2} /O_{F}^{×}} ′ \frac{N(y)^{s}}{|N(μz + ν)|^{2s}} ,  (38)

où le groupe d’unités O_{F}^{×} opère diagonalement sur O_{F}^{2}. Cette série définit une forme modulaire de Hilbert non-holomorphe de poids (0, …, 0) pour Γ. Le théorème principal de cette partie met en jeu des périodes associées à des dérivées partielles de E(z, s).

Soit K une extension quadratique de F. La signature de K est de la forme (2r, c) avec r + c = n. On ordonne les n places archimédiennes de F de sorte que les c premières places υ_{1}, …, υ_{c} se prolongent chacune en une place complexe de K, et que pour les r places suivantes υ_{c+1}, …, υ_{n} on ait un isomorphisme de R-algèbre K ⊗_{F,v_{j}} R ≃ R ⊕ R. On fixe une fois pour toutes de telles identifications, que l’on appelle encore υ_{j} par abus de notation.

Comme dans la partie 1.2, on fixe un idéal I de O_{F} , et l’on note O_{I} = O_{F} +IO_{K} l’ordre de K de conducteur I. On se donne un O_{I}-module projectif M de K, et l’on définit τ := ω_{2}/ω_{1}, où (ω_{1}, ω_{2}) est une une O_{F} -base positive de M. On pose alors

\{ \begin{matrix}τ_{j} := v_{j}(τ) & ∈ H_{j} & pour j = 1, …, c, \\ (τ_{j}, τ′_{j}) := v_{j}(τ) & ∈ R × R & pour j = c + 1, …, n. \end{matrix}

Pour chaque c + 1 ≤ j ≤ n, on appelle Υ_{j} la géodésique hyperbolique sur H_{j} joignant τ_{j} à τ′_{j}, orientée dans le sens allant de τ′_{j} à τ_{j}.

Le produit

R_{τ} = {τ_{1}} × ⋯ {τ_{c}} × Υ_{c+1} × ⋯ × Υ_{n} ⊂ H^{n}

est un espace contractile homéomorphe à R^{r}. On le munit de l’orientation naturelle héritée des Υ_{j}. Le stabilisateur Γ_{τ} de τ dans Γ est un groupe abélien de rang r (modulo la torsion), qui s’identifie avec le sous-groupe V_{1} des unités de V de norme relative 1 sur F. Il opère sur R_{τ} par homographies, et le quotient Γ_{τ}\R_{τ} est compact, isomorphe à un tore réel de dimension r. Soit Δ_{τ} un domaine fondamental pour l’action de Γ_{τ} sur R_{τ}. On identifie Δ_{τ} avec son image dans X, qui est un cycle fermé de dimension r dans ce quotient.

Théorème 7.1. Pour tout O_{I}-module projectif M dans K, on a :

∫_{Δ_{τ}} \frac{∂^{r}E(z, s)}{∂z_{c+1} ⋯ ∂z_{n}} dz_{c+1} ∧ … ∧ dz_{n} = (\frac{Γ(\frac{s+1}{2})^{2}}{2iΓ(s)} )^{r} d_{F}^{−s} L(M, s).  (39)

Démonstration. On associe à tout nombre complexe s la r-forme différentielle Γ-invariante sur H^{n}

ω_{Eis}^{r}(s) := \frac{∂^{r}E(z, s)}{∂z_{c+1} ⋯ ∂z_{n}} dz_{c+1} ∧ … ∧ dz_{n}.

Lorsque Re (s) > 1, un calcul direct montre que la période considérée prend la forme

∫_{Δ_{τ}} ω_{Eis}^{r}(s) = (\frac{s}{2i})^{r} ∫_{Δ_{τ}} ∑_{(μ, ν)∈O_{F}^{2} /O_{F}^{×}} ′ (∏_{j=1}^{c} \frac{( Im τ_{j})^{s}}{|μ_{j}τ_{j} + ν_{j}|^{2s}} ) ( ⋀_{j=c+1}^{n} \frac{y_{j}^{s−1}(μ_{j}z̄_{j} + ν_{j})^{2}}{|μ_{j}z_{j} + ν_{j}|^{2s+2}} dz_{j}) . (40)

On définit une action naturelle de K^{×} (et donc du groupe V_{1}) sur (R_{+}^{×})^{r} par la formule

α ▪ (t_{c+1}, …, t_{n}) := (|\frac{α_{c+1}}{α′_{c+1}} | t_{c+1}, …, |\frac{α_{n}}{α′_{n}} | t_{n}) .

Le tore compact réel T^{r} : V_{1}\(R_{+}^{×})^{r} est muni d’une mesure de Haar canonique

d^{×}t = \frac{dt_{c+1}}{t_{c+1}} ∧ … ∧ \frac{dt_{n}}{t_{n}} .

On peut supposer que (1, τ) est une O_{F} -base positive de M, quitte à changer M en αM avec α ∈ K^{×}. Dans ce cas, la géodésique Υ_{j} est orientée dans le sens trigonométrique selon nos conventions. On obtient une paramétrisation t_{j} ∈ R_{+}^{×} de cette géodésique en posant t_{j} = −i\frac{z_{j}−τ′_{j}}{z_{j}−τ_{j}} . Elle permet d’identifier le quotient Γ_{τ}\R_{τ} avec le tore T^{r} en respectant les orientations. On observe d’abord que

N(M) = d_{F} ∏_{j=1}^{c} Im (τ_{j}) ∏_{j=c+1}^{n}(τ′_{j} − τ_{j}).

Le changement de variable qui correspond à cette paramétrisation transforme l’identité (40) en l’expression

∫_{Δ_{τ}} ω_{Eis}^{r}(s) = (\frac{s}{2})^{r} (\frac{N(M)}{d_{F}})^{s}∫_{T^{r}} ∑_{β∈M/O_{F}^{×}} ′ |N_{K/Q}(β)|^{−s} g_{β}(β ▪ t)d^{×}t,  (41)

où l’on a posé β = μτ + ν, élément de K^{×} qui parcourt les classes non nulles de M/O_{F}^{×} quand le couple (μ, ν) parcourt les classes non nulles de O_{F}^{2} /O_{F}^{×}, et où g_{β} : (R_{+}^{×})^{r} ⟶ C désigne la fonction auxiliaire

g_{β}(t) = ∏_{j=c+1}^{n} \frac{t_{j}^{s}(−it_{j} + signe(β_{j}β′_{j}))^{2}}{(t_{j}^{2} + 1)^{s+1}} .

L’étape cruciale consiste maintenant à utiliser une idée due à Hecke ([Si] p. 86) : on observe d’abord que l’on obtient un système de représentants des classes non nulles de M/O_{F}^{×} en considérant la famille {βϵ} lorsque β parcourt les classes non-nulles de M/Ṽ et ϵ parcourt V_{1}/{±1}.

Par conséquent, l’identité (41) devient

∫_{Δ_{τ}} ω_{Eis}^{r}(s) = (\frac{s}{2})^{r} (\frac{N(M)}{d_{F}})^{s} ∑_{β∈M/Ṽ} ′ |N_{K/Q}(β)|^{−s} ∫_{V_{1}\(R_{+}^{×})^{r}} ∑_{ϵ∈V_{1}/\{±1\}} g_{βϵ}(βϵ ▪ t)d^{×}t (42)

= (\frac{s}{2})^{r} (\frac{N(M)}{d_{F}})^{s} ∑_{β∈M/Ṽ} ′ |N_{K/Q}(β)|^{−s} ∫_{(R_{+}^{×})^{r}}g_{β}(β ▪ t)d^{×}t.  (43)

Le changement de variable u = β ▪ t dans la dernière intégrale permet de scinder cette intégrale multiple en un produit de r intégrales de la forme suivante ([Si] formule (107)) :

∫_{0}^{+∞} \frac{u_{j}^{s}(−iu_{j} + signe(β_{j}β′_{j}))^{2}}{(u_{j}^{2} + 1)^{s+1}} \frac{du_{j}}{u_{j}} − i signe(β_{j}β′_{j})\frac{Γ (\frac{s+1}{2})^{2}}{Γ(s + 1)}.

Il s’ensuit que

∫_{Δ_{τ}} ω_{Eis}^{r}(s) = (\frac{sΓ(\frac{s+1}{2})^{2}}{2iΓ(s + 1)})^{r} (\frac{N(M)}{d_{F}})^{s} ∑_{β∈M/Ṽ} ′ |N_{K/Q}(β)|^{−s} ∏_{j=c+1}^{n} signe(β_{j}β′_{j}). (44)

La formule (39) s’en déduit immédiatement au vu de la définition (20) de L(M, s).

Corollaire 7.2. Soit K une extension quadratique de signature (2r, c) du corps F, avec r + c = n = [F : Q]. Soit M un O_{I}-module projectif dans K. La fonction L(M, s) possède alors un zéro d’ordre ≥ c en s = 0, et l’on a les formules :

i) si r ≥ 2, alors :

\frac{L^{(c)}(M, 0)}{c!} = \frac{(2i)^{r}}{2^{n}π^{r}} ∫_{Δ_{τ}} \frac{∂^{r}h̃(z)}{∂z_{c+1} … ∂z_{n}} dz_{c+1} ∧ … ∧ dz_{n}.  (45)

ii) si le corps K n’a que deux places réelles (r = 1), alors

\frac{L^{(n−1)}(M, 0)}{(n − 1)!} = \frac{2i}{2^{n}π} ∫_{Δ_{τ}} (\frac{∂h̃(z)}{∂z_{n}} − \frac{2^{2n−2}R_{F}}{z_{n} − z̄_{n}} ) dz_{n}.  (46)

Démonstration. D’après les résultats de Asai ([As], Théorème 3, ou [Ch2], Théorème 2.1), la fonction E(z, s) se prolonge sur C en une fonction méromorphe de la variable s qui satisfait l’équation fonctionnelle

G(2s)E(z, s) = G(2 − 2s)E(z, 1 − s)  (47)

avec G(s) := dF^{\frac{s}{2}} π^{− \frac{ns}{2}} Γ(\frac{s}{2})^{n}. En outre, elle possède un unique pôle simple en s = 1, et les premiers termes de son développement de Laurent au voisinage de ce pôle sont fournis par la formule limite de Kronecker généralisée :

E(z, s) = \frac{(2π)^{n}R_{F}}{4d_{F}} (\frac{1}{s − 1} + γ_{F} − log (∏_{j=1}^{n} y_{j}) + h(z)) + O(s − 1),  (48)

où γ_{F} est une constante qui ne dépend que de F, et où les fonctions h et h̃ = 4^{n−1}R_{F} h ont été introduites en (9) et (10). Les deux égalités précédentes permettent d’obtenir le développement de Taylor de E(z, s) au voisinage de s = 0 :

E(z, s) = −2^{n−2}R_{F} s^{n−1} − 2^{n−2}R_{F} s^{n}( log N(y) + γ′_{F} − h(z)) + O(s^{n+1}),  (49)

où γ′_{F} ne dépend que de F. On trouve par conséquent pour r = n − c ≥ 2 :

\frac{∂^{r}E(z, s)}{∂z_{c+1} … ∂z_{n}} = \frac{s^{n}}{2^{n}} \frac{∂^{r}h̃(z)}{∂z_{c+1} … ∂z_{n}} + O(s^{n+1}),  (50)

et pour r = 1 :

\frac{∂E(z, s)}{∂z_{n}} = \frac{s^{n}}{2^{n}} (\frac{∂h̃(z)}{∂z_{n}} − \frac{2^{2n−2}R_{F}}{z_{n} − z̄_{n}} ) + O(s^{n+1}).  (51)

On conclut alors du théorème 7.1 que L(M, s) se prolonge en une fonction méromorphe sur C, dont le développement de Taylor au voisinage de s = 0 se déduit des identités (50) et (51) ci-dessus :

L(M, s) = \frac{(2i)^{r}s^{n−r}}{2^{n}π^{r}} ∫_{Δ_{τ}} \frac{∂^{r}h̃(z)}{∂z_{c+1} … ∂z_{n}} dz_{c+1} ∧ … ∧ dz_{n} + O(s^{n+1−r})

pour r ≥ 2, tandis que pour r = 1 :

L(M, s) = \frac{2is^{n−1}}{2^{n}π} ∫_{Δ_{τ}} (\frac{∂h̃(z)}{∂z_{n}} − \frac{2^{2n−2}R_{F}}{z_{n} − z̄_{n}} ) + O(s^{n}).

Les formules (45) et (46) souhaitées en résultent immédiatement.

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